त्रिभुज PQR में ΔPQR, ∠R = 62° है। PQ का लम्ब समद्विभाजक S पर QR को T पर प्रतिच्छेद करता है। यदि ∠TPR = 38° है, तो, ∠PQR का मान क्या होगा?

सही उत्तर — D. T, PQ के लम्ब समद्विभाजक पर है, इसलिए वह P और Q से बराबर दूरी पर है।

बराबर दूरी: TP = TQ, अतः त्रिभुज TPQ समद्विबाहु है
बराबर आधार कोण: ∠TPQ = ∠TQP
T, QR पर है, इसलिए ∠TQP ही ∠PQR है; इसे x मानिए

PT, ∠P को दो भागों में बाँटती है: ∠QPR = ∠QPT + ∠TPR = x + 38°
PQR के कोणों का योग: (x + 38°) + x + 62° = 180°
इकट्ठा कीजिए: 2x + 100° = 180°, अतः 2x = 80°
आधा कीजिए: x = 40° → विकल्प (d)

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (a)
  60° — जाँचिए: ∠Q = 60° लेने पर ∠P = 60° + 38° = 98°, और 98° + 60° + 62° = 220°। त्रिभुज PQR के कोणों का योग 180° होना चाहिए।
• (b)
  80° — 80° तो 2x है, यानी दोनों बराबर आधार कोण मिलाकर: 180° − 62° − 38° = 80°। ∠PQR = 40° पाने के लिए इसे आधा कीजिए।
• (c)
  35° — जाँचिए: ∠Q = 35° लेने पर ∠P = 35° + 38° = 73°, और 73° + 35° + 62° = 170°, जो 180° से 10° कम है।

लम्ब समद्विभाजक का हर बिंदु रेखाखंड के दोनों सिरों से बराबर दूरी पर होता है। इसलिए PQ के समद्विभाजक पर स्थित T के लिए TP = TQ।

बराबर भुजाएँ बराबर आधार कोण देती हैं। इससे Q वाला अज्ञात कोण P पर भी आ जाता है, और बड़े त्रिभुज के कोणों का योग काम पूरा कर देता है।

बिंदु S, यानी PQ पर समद्विभाजक का पाद, कोणों की इस गणना में कोई भूमिका नहीं निभाता।

मुख्य तथ्य

• PQ के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित हर बिंदु P और Q से बराबर दूरी पर होता है।
• समद्विबाहु त्रिभुज में बराबर भुजाओं के सामने के कोण बराबर होते हैं।
• यहाँ ∠PQR = 40°, ∠QPR = 78° और ∠PRQ = 62° हैं, जिनका योग 180° है।

सामान्य भ्रम

• 180° − 62° − 38° = 80° पर रुक जाना, और यह भूल जाना कि यह एक कोण नहीं, दो बराबर कोण हैं।
• ∠TPR = 38° को पूरा ∠P मान लेना, जबकि उसमें ∠TPQ जोड़ना है।

इस प्रश्न से सीधे संबंधित कोई पूर्व PYQ उपलब्ध नहीं।