समूह {1, 2, 3......, 100} में ऐसे कितने पूर्णांक हैं जिनके ठीक 3 भाजक हैं?

सही उत्तर — C. ठीक 3 भाजकों वाली संख्या किसी अभाज्य संख्या का वर्ग ही हो सकती है।

भाजकों की संख्या: अभाज्य गुणनखंडों के घातांक a, b, … हों तो (a + 1)(b + 1)… भाजक
3 अभाज्य है, इसलिए गुणनफल में एक ही गुणनखंड होगा: a + 1 = 3, a = 2
तो n = p², जिसके भाजक 1, p और p² हैं

100 तक के अभाज्य वर्ग लिखिए:
2² = 4, 3² = 9, 5² = 25, 7² = 49
अगला अभाज्य: 11² = 121 > 100, इसलिए यहीं रुकिए

गिनती: 4 पूर्णांक → विकल्प (c)

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (a)
  2 — 2 केवल 4 और 9 पर रुक जाता है। पर 25 = 5² (भाजक 1, 5, 25) और 49 = 7² (भाजक 1, 7, 49) के भी ठीक तीन भाजक हैं।
• (b)
  8 — 8 ज़्यादा गिनता है। शर्त पूरी करने वाली संख्या p² ≤ 100 है, तो p ≤ 10, और 10 तक के अभाज्य केवल 2, 3, 5 और 7 हैं।
• (d)
  6 — 6 के लिए 100 के भीतर दो और अभाज्य वर्ग चाहिए। अगला 11² = 121 है, और 16 जैसे भाज्य वर्ग के पाँच भाजक (1, 2, 4, 8, 16) हैं।

भाजक जोड़ों में आते हैं: n को विभाजित करने वाला हर d, n⁄d के साथ जोड़ा बनाता है। इसलिए भाजकों की संख्या केवल पूर्ण वर्गों में विषम होती है, जहाँ √n अपने ही साथ जोड़ा बनाता है।

ठीक तीन भाजकों के लिए गुणनफल (a + 1)(b + 1)… = 3 होना चाहिए, और इसका एक ही अर्थ है: एक अभाज्य संख्या, घात 2 के साथ।

तो प्रश्न बन जाता है: कितने अभाज्य p के लिए p² ≤ 100। यानी p ≤ 10: 2, 3, 5 और 7।

मुख्य तथ्य

• जिस संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में घातांक a, b, c, … हों, उसके (a + 1)(b + 1)(c + 1)… भाजक होते हैं।
• किसी संख्या के भाजकों की संख्या विषम ठीक तभी होती है जब वह पूर्ण वर्ग हो।
• ठीक 3 भाजकों वाली संख्याएँ अभाज्य संख्याओं के वर्ग हैं: 4, 9, 25, 49, 121, …

सामान्य भ्रम

• हर पूर्ण वर्ग गिन लेना: 16, 36, 64, 81 और 100 के क्रमशः 5, 9, 7, 5 और 9 भाजक हैं, 3 नहीं।
• 1 को शर्त पूरी करने वाला पूर्ण वर्ग मान लेना, जबकि उसका एक ही भाजक है।

इस प्रश्न से सीधे संबंधित कोई पूर्व PYQ उपलब्ध नहीं।