एक समकोणीय प्रिज्म का आधार समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज है, जिसकी समानांतर भुजाएँ 10 सेंटीमीटर और 20 सेंटीमीटर हैं, तथा असमानांतर भुजाएँ प्रत्येक 13 सेंटीमीटर हैं। प्रिज्म का आयतन 3240सेंटीमीटर³ है। प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होगा?
- (a)1940 सेंटीमीटर²
- (b)1368 सेंटीमीटर ²
- (c)1620 सेंटीमीटर²
- (d)2120 सेंटीमीटर²
उत्तर
क्यों
सही उत्तर — B. पहले समलंब की ऊँचाई निकालिए, फिर प्रिज्म की लंबाई, फिर सभी फलकों का क्षेत्रफल जोड़िए।
हर ओर बाहर निकला हिस्सा: (20 − 10) ÷ 2 = 5 सेंटीमीटर
समलंब की ऊँचाई: √(13² − 5²) = √144 = 12 सेंटीमीटर
आधार का क्षेत्रफल: ½ × (10 + 20) × 12 = 180 सेंटीमीटर²
प्रिज्म की लंबाई: 3240 ÷ 180 = 18 सेंटीमीटर
आधार का परिमाप: 10 + 20 + 13 + 13 = 56 सेंटीमीटर
पार्श्व क्षेत्रफल: 56 × 18 = 1008 सेंटीमीटर²
कुल: 1008 + 2 × 180 = 1368 सेंटीमीटर² → विकल्प (b)
अन्य विकल्प क्यों गलत हैं
- (a)1940 सेंटीमीटर² — 1940 सेंटीमीटर² में दोनों सिरों के लिए 1940 − 1008 = 932 सेंटीमीटर² बचेगा, यानी हर सिरा 466 सेंटीमीटर²। पर हर समलंब सिरा 180 सेंटीमीटर² का है।
- (c)1620 सेंटीमीटर² — 1620 सेंटीमीटर² के लिए हर सिरा (1620 − 1008) ÷ 2 = 306 सेंटीमीटर² होना चाहिए। 12 ऊँचाई वाला समलंब ½ × 30 × 12 = 180 सेंटीमीटर² देता है।
- (d)2120 सेंटीमीटर² — 2120 सेंटीमीटर² बहुत आगे निकल जाता है: पार्श्व फलक 56 × 18 = 1008 सेंटीमीटर² पर तय हैं, तो दोनों सिरों का योग 1112 सेंटीमीटर² होना पड़ेगा, जबकि वह 360 सेंटीमीटर² है।
अवधारणा
समकोणीय (लंब) प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = पार्श्व क्षेत्रफल + 2 × आधार का क्षेत्रफल, और उसके पार्श्व फलक खोलने पर एक आयत बनता है जिसका क्षेत्रफल आधार का परिमाप × लंबाई है।
आयतन से छूटी हुई लंबाई मिलती है: लंबाई = आयतन ÷ आधार का क्षेत्रफल।
समद्विबाहु समलंब में 10 सेंटीमीटर वाली भुजा के सिरों से लंब गिराइए। इनसे दो समकोण त्रिभुज बनते हैं जिनका आधार (20 − 10)⁄2 = 5 सेंटीमीटर और कर्ण 13 सेंटीमीटर है, इसलिए ऊँचाई 12 सेंटीमीटर है: 5-12-13 त्रिक।
आयतन, 3240 सेंटीमीटर³, केवल प्रिज्म की लंबाई निकालने के लिए दिया है। पृष्ठीय क्षेत्रफल के योग में वह सीधे नहीं आता।
मुख्य तथ्य
- लंब प्रिज्म का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = आधार का परिमाप × ऊँचाई (लंबाई)।
- लंब प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = पार्श्व क्षेत्रफल + 2 × आधार का क्षेत्रफल।
- समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½ × (समानांतर भुजाओं का योग) × ऊँचाई।
- 5-12-13 एक पाइथागोरस त्रिक है: 5² + 12² = 13²।
आगे की तैयारी
सामान्य भ्रम
- 13 सेंटीमीटर की तिरछी भुजा को ही समलंब की ऊँचाई मान लेना, जिससे आधार का क्षेत्रफल 195 सेंटीमीटर² हो जाता है।
- पार्श्व क्षेत्रफल में दो की जगह एक ही आधार जोड़ना: 1008 + 180 = 1188 सेंटीमीटर²।
यहाँ आयतन इसलिए दिया है कि पहले लंबाई निकालनी पड़े। पार्श्व क्षेत्रफल = आधार का परिमाप × ऊँचाई, यह सीधे 15 Sep 2025, 12:30, Quant Q.19 में पूछा गया है (पार्श्व क्षेत्रफल 240 सेंटीमीटर², ऊँचाई 8 सेंटीमीटर, आधार का परिमाप 30 सेंटीमीटर)।
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