एक पिरामिड की ऊंचाई 8 मीटर है, और पिरामिड का आधार एक वर्ग है जिसका विकर्ण √512 मीटर है . पिरामिड का अनुमानित आयतन ज्ञात कीजिए।

सही उत्तर — A. पहले विकर्ण से आधार का क्षेत्रफल निकालिए, फिर आधार × ऊँचाई का एक-तिहाई लीजिए।

विकर्ण से वर्ग का क्षेत्रफल: d² ÷ 2 = 512 ÷ 2 = 256 मीटर²
जाँच: भुजा = √512 ÷ √2 = √256 = 16 मीटर, और 16² = 256

आयतन = (1⁄3) × आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई
= (1⁄3) × 256 × 8 = 2048⁄3
= 682.67 मीटर³ ≈ 683 मीटर³ → विकल्प (a)

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (b)
  982 मीटर³ — 982 मीटर³ के लिए आधार 982 × 3 ÷ 8 ≈ 368 मीटर² होना चाहिए। √512 मीटर विकर्ण वाले वर्ग का क्षेत्रफल 512 ÷ 2 = 256 मीटर² है।
• (c)
  1092 मीटर³ — 1092 मीटर³ का अर्थ है आधार 1092 × 3 ÷ 8 = 409.5 मीटर², जो 256 मीटर² से बहुत अधिक है। 1⁄3 छोड़ देने पर भी 2048 मीटर³ आता है, 1092 नहीं।
• (d)
  782 मीटर³ — 782 मीटर³ का अर्थ है आधार 782 × 3 ÷ 8 ≈ 293 मीटर²। आधार 16 मीटर × 16 मीटर = 256 मीटर² है, जिससे 682.67 मीटर³ आता है।

समान आधार और समान ऊँचाई वाले प्रिज्म का एक-तिहाई आयतन पिरामिड में होता है: V = (1⁄3) × आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई।

जिस वर्ग का विकर्ण d दिया हो, उसकी भुजा d⁄√2 होती है, इसलिए क्षेत्रफल d²⁄2 होता है।

यहाँ विकर्ण √512 है, तो d² = 512 सीधे मिल जाता है और भुजा निकाले बिना क्षेत्रफल 256 मीटर² आ जाता है।

मुख्य तथ्य

• पिरामिड का आयतन = (1⁄3) × आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई।
• विकर्ण से वर्ग का क्षेत्रफल = d²⁄2।
• √512 = 16√2, इसलिए भुजा 16√2 ÷ √2 = 16 मीटर है।

सामान्य भ्रम

• 1⁄3 भूलकर प्रिज्म का आयतन, 256 × 8 = 2048 मीटर³, दे देना।
• विकर्ण को भुजा मानकर उसका वर्ग ले लेना: 512 × 8 ÷ 3 ≈ 1365 मीटर³।

इस प्रश्न से सीधे संबंधित कोई पूर्व PYQ उपलब्ध नहीं।