अगर एक क्लास टेस्ट में स्टूडेंट्स को 50 में से मिले मार्क्स दिए गए हैं, तो नीचे दिए गए डेटा का मीडियन ज्ञात करें: अंक | आवृत्ति 0-10 | 5 10-20 | 8 20-30 | 6 30-40 | 6 40-50 | 5
- (a)38.9
- (b)18.8
- (c)14.1
- (d)23.3
उत्तर
क्यों
सही उत्तर — D. पहले संचयी आवृत्तियाँ बनाइए, माध्यिका (मीडियन) वर्ग पहचानिए, फिर सूत्र से उसी वर्ग के भीतर मान निकालिए।
कुल: N = 5 + 8 + 6 + 6 + 5 = 30, इसलिए N⁄2 = 15
संचयी आवृत्तियाँ: 5, 13, 19, 25, 30
15 पहली बार 20–30 में आता है (20 से कम अंक 13 छात्रों के, 30 से कम 19 के)
माध्यिका वर्ग के मान: L = 20, cf = 13, f = 6, h = 10
माध्यिका = L + ((N⁄2 − cf) ⁄ f) × h
= 20 + (2⁄6) × 10 = 20 + 3.33
= 23.33 ≈ 23.3 → विकल्प (d)
अन्य विकल्प क्यों गलत हैं
- (a)38.9 — 38.9 वर्ग 30–40 में पड़ता है, पर 30 में से 19 छात्रों के अंक तो 30 से भी कम हैं। 38.9 से नीचे आधे से ज़्यादा छात्र हैं, इसलिए यह बीच से आगे निकल गया।
- (b)18.8 — 18.8 वर्ग 10–20 में पड़ता है, और 20 अंक तक संचयी गिनती केवल 13 है। 30 में से 15 से कम छात्र इसके नीचे हैं, इसलिए यह बीच तक नहीं पहुँचता।
- (c)14.1 — 14.1 वर्ग 10–20 में और भी नीचे है। 20 से कम अंक केवल 13 छात्रों के हैं, जो 30 के आधे से कम है, इसलिए माध्यिका 20 से नीचे कहीं नहीं हो सकती।
अवधारणा
वर्गीकृत आँकड़ों की माध्यिका वह अंक है जिससे नीचे आधे छात्र हों। किसी वर्ग के भीतर के अंक अलग-अलग नहीं दिए होते, इसलिए मान लिया जाता है कि वे पूरे वर्ग में बराबर फैले हैं।
N⁄2 निकालिए, वह माध्यिका वर्ग ढूँढिए जहाँ संचयी आवृत्ति पहली बार N⁄2 तक पहुँचती है, फिर उस वर्ग के भीतर उतना आगे बढ़िए, जितने अनुपात में उसके छात्र अभी और चाहिए।
यहाँ उस वर्ग के 6 में से 2 छात्र चाहिए, इसलिए 10 अंक चौड़े वर्ग में 2⁄6 हिस्सा आगे जाते हैं।
एक झटपट जाँच: अगर 10–20 में भी 30–40 की तरह 6 छात्र होते, तो तालिका सममित होती और माध्यिका ठीक 25 होती। 10–20 के दो अतिरिक्त छात्र इसे खींचकर 23.33 पर ले आते हैं।
मुख्य तथ्य
- वर्गीकृत माध्यिका = L + ((N⁄2 − cf) ⁄ f) × h, जहाँ cf माध्यिका वर्ग से पहले की संचयी आवृत्ति है।
- माध्यिका वर्ग वह पहला वर्ग है जिसकी संचयी आवृत्ति N⁄2 तक पहुँचती है।
- वर्गीकृत आँकड़ों का सूत्र N⁄2 लेता है, (N + 1)⁄2 नहीं।
आगे की तैयारी
सामान्य भ्रम
- सबसे अधिक आवृत्ति वाले वर्ग (10–20) को माध्यिका वर्ग मान लेना। वह तो बहुलक वर्ग है।
- माध्यिका वर्ग से पहले की संचयी आवृत्ति (13) की जगह उस वर्ग के अंत की संचयी आवृत्ति (19) ले लेना।
यहाँ आवृत्ति तालिका प्रश्न में ही छपी है और विकल्प एक दशमलव स्थान तक के मान हैं। वर्गीकृत तालिका 19 Jan 2026, 11:00 AM, Maths Q.7 में भी आती है, जहाँ माध्यिका नहीं, बल्कि 25–29 से 55–59 तक के वर्गों में दी गई आयु का औसत वर्ग-मध्यबिंदुओं से निकाला जाता है।
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