किस वार्षिक ब्याज दर पर ₹15,625 की राशि 1 साल 6 महीने में ₹19,683 हो जाएगी, यदि ब्याज हर छह महीने में चक्रवृद्धि किया जाता है?

सही उत्तर — C. ब्याज हर छह महीने में चक्रवृद्धि हो, तो 1 साल 6 महीने का अर्थ है 3 छमाही, और हर छमाही की दर वार्षिक दर की आधी होती है।

मिश्रधन ÷ मूलधन = (1 + r)³, जहाँ r छमाही दर है
19,683 = 27³ और 15,625 = 25³
इसलिए (1 + r)³ = (27⁄25)³ → 1 + r = 27⁄25

छमाही दर: r = 27⁄25 − 1 = 2⁄25 = 8%
वार्षिक दर: 8% × 2 = 16% → विकल्प (c)

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (a)
  20% — 20% वार्षिक पर छमाही दर 10% होगी, और 15,625 × 1.1³ = ₹20,796.875, जो ₹19,683 से आगे निकल जाता है।
• (b)
  8% — 8% छमाही दर है, वार्षिक नहीं। दो छमाही से एक साल बनता है, इसलिए वार्षिक दर 8% × 2 = 16% है।
• (d)
  18% — 18% वार्षिक पर हर छमाही में 9% जुड़ता है: 15,625 × 1.09³ ≈ ₹20,234.83, यह भी ₹19,683 से ज़्यादा है।

छमाही (अर्धवार्षिक) चक्रवृद्धि में दो बातें बदलती हैं: हर अवधि की दर वार्षिक दर की आधी हो जाती है, और अवधियों की संख्या वर्षों की दोगुनी।

इसलिए A = P × (1 + R⁄200)ⁿ, जहाँ R प्रतिशत में वार्षिक दर है और n = 2 × वर्ष। यहाँ n = 2 × 1.5 = 3।

दोनों संख्याएँ पूर्ण घन हैं, 15,625 = 25³ और 19,683 = 27³, इसलिए A⁄P का घनमूल एक ही कदम में 27⁄25 आ जाता है।

मुख्य तथ्य

• छमाही चक्रवृद्धि: प्रति अवधि दर = वार्षिक दर ÷ 2, और अवधियाँ = वर्ष × 2।
• 15,625 = 25³ = 5⁶, और 19,683 = 27³ = 3⁹।
• 16% वार्षिक दर, छमाही चक्रवृद्धि पर, एक साल में राशि को 1.08² = 1.1664 गुना कर देती है, यानी प्रभावी दर 16.64%।

सामान्य भ्रम

• प्रश्न वार्षिक दर पूछता है, पर उत्तर में छमाही दर (8%) दे देना।
• 1 साल 6 महीने को 3 छमाही के बजाय 1.5 अवधि गिन लेना।

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