एक समकोण पिरामिड का आधार एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा 10 सेंटीमीटर है, और उसकी ऊर्ध्वाधर ऊँचाई 24 सेंटीमीटर है। पिरामिड का आयतन (सेंटीमीटर³) में ज्ञात कीजिए।

सही उत्तर — D. पिरामिड का आयतन (आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई) का एक-तिहाई होता है।

समबाहु त्रिभुज वाले आधार का क्षेत्रफल: (√3⁄4) × 10² = 25√3 सेंटीमीटर²
ऊर्ध्वाधर ऊँचाई से गुणा: 25√3 × 24 = 600√3
एक-तिहाई लीजिए: 600√3 ÷ 3 = 200√3 सेंटीमीटर³ → विकल्प (d)

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (a)
  100√3सेंटीमीटर³ — 100√3 के लिए इस आधार पर ऊँचाई 12 सेंटीमीटर होनी चाहिए: (1⁄3) × 25√3 × 12 = 100√3। प्रश्न में ऊर्ध्वाधर ऊँचाई 24 सेंटीमीटर दी है, जो इसे दोगुना कर देती है।
• (b)
  400√3 सेंटीमीटर³ — 400√3 में आधार 50√3 लिया गया है, जो भुजा × त्रिभुज की ऊँचाई, 10 × 5√3 है, पर इसमें ½ से गुणा नहीं किया गया। त्रिभुज का क्षेत्रफल ½ × 10 × 5√3 = 25√3 है।
• (c)
  150√3 सेंटीमीटर³ — 150√3 = 600√3 ÷ 4 है, यानी आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई को 3 की जगह 4 से भाग दिया गया। पिरामिड के सूत्र में भाग 3 से होता है: 600√3 ÷ 3 = 200√3।

हर पिरामिड का, हर शंकु की तरह, आयतन V = (1⁄3) × आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई होता है। यहाँ ऊँचाई शीर्ष से आधार तक की लम्बवत ऊँचाई है, तिर्यक ऊँचाई (slant height) नहीं।

आधार का आकार केवल क्षेत्रफल वाला चरण बदलता है। भुजा a वाले समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई (√3⁄2)a होती है, इसलिए उसका क्षेत्रफल ½ × a × (√3⁄2)a = (√3⁄4)a² है।

मुख्य तथ्य

• पिरामिड का आयतन = (1⁄3) × आधार का क्षेत्रफल × ऊर्ध्वाधर ऊँचाई।
• भुजा a वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (√3⁄4)a²।
• भुजा a वाले समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई = (√3⁄2)a।
• पिरामिड, उसी आधार और ऊँचाई वाले प्रिज्म का एक-तिहाई होता है।

सामान्य भ्रम

• ऊर्ध्वाधर ऊँचाई की जगह तिर्यक ऊँचाई लगा देना: सूत्र में लम्बवत ऊँचाई चाहिए।
• (1⁄3) छोड़ देना, जिससे प्रिज्म वाला 600√3 सेंटीमीटर³ आ जाता है।

इस प्रश्न से सीधे संबंधित कोई पूर्व PYQ उपलब्ध नहीं।