एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के तीन फलक की विकर्ण रेखाएँ, जो एक ही कोने पर मिलती हैं, क्रमशः √5 सेंटीमीटर, √10 सेंटीमीटर, और √13 सेंटीमीटर हैं। इस समानांतर चतुर्भुज का आयतन क्या होगा?
- (a)12 सेंटीमीटर³
- (b)24 सेंटीमीटर³
- (c)6 सेंटीमीटर³
- (d)18 सेंटीमीटर³
उत्तर
क्यों
सही उत्तर — C. कोने पर मिलने वाले तीन किनारों को a, b और c मानिए। हर फलक का विकर्ण एक समकोण त्रिभुज का कर्ण है, जिसका आधार और लम्ब घनाभ के दो किनारे हैं।
तीनों फलक: a² + b² = 5, b² + c² = 10, c² + a² = 13
तीनों को जोड़िए: 2(a² + b² + c²) = 28
आधा कीजिए: a² + b² + c² = 14
पहला फलक घटाइए: c² = 14 − 5 = 9, अतः c = 3
दूसरा घटाइए: a² = 14 − 10 = 4, अतः a = 2
तीसरा घटाइए: b² = 14 − 13 = 1, अतः b = 1
किनारों का गुणा कीजिए: V = 2 × 1 × 3 = 6 सेंटीमीटर³ → विकल्प (c)
अन्य विकल्प क्यों गलत हैं
- (a)12 सेंटीमीटर³ — 12 = 4 × 1 × 3 — किनारे a = 2 की जगह उसका वर्ग a² = 4 ले लिया गया। पहले हर किनारे के वर्ग का वर्गमूल लीजिए: किनारे 2, 1 और 3 हैं।
- (b)24 सेंटीमीटर³ — 24 सभी किनारों की कुल लंबाई है, 4 × (1 + 2 + 3), आयतन नहीं। घनाभ के बारह किनारे होते हैं, हर लंबाई के चार, और उनका योग सेंटीमीटर में एक लंबाई है।
- (d)18 सेंटीमीटर³ — 18 = 2 × 1 × 9 — a और b का वर्गमूल लिया गया, पर c² = 9 को बिना मूल लिए छोड़ दिया गया। c = 3 लेने पर गुणनफल 2 × 1 × 3 = 6 है।
अवधारणा
यह ठोस एक घनाभ (cuboid) है: छह आयताकार फलक, और हर कोने पर तीन किनारे a, b और c मिलते हैं।
हर फलक एक आयत है, इसलिए उसका विकर्ण दो किनारों पर पाइथागोरस है: √(a² + b²), √(b² + c²) और √(c² + a²)।
तीनों विकर्णों के वर्ग जोड़ने पर हर किनारे का वर्ग दो बार गिना जाता है। a² + b² + c² पाने के लिए योग को आधा कीजिए, फिर एक-एक करके हर विकर्ण का वर्ग घटाइए — हर बार एक किनारे का वर्ग अलग हो जाता है।
हिन्दी प्रश्न का समानांतर चतुर्भुज सामान्यतः समतल आकृति (parallelogram) का नाम है, पर तीन फलक और आयतन बताते हैं कि यहाँ ठोस घनाभ है — अंग्रेज़ी प्रश्न में rectangular parallelepiped लिखा है।
प्रश्न कहता है कि ये विकर्ण रेखाएँ एक ही कोने पर मिलती हैं। इसलिए वे तीन अलग-अलग फलकों — ab, bc और ca — की हैं, और किनारों का हर जोड़ा ठीक एक समीकरण में आता है। आमने-सामने के दो फलक लेने पर एक ही विकर्ण दोहराया जाता।
मुख्य तथ्य
- किनारे a, b, c वाले घनाभ के फलकों के विकर्ण √(a² + b²), √(b² + c²) और √(c² + a²) होते हैं।
- फलकों के तीनों विकर्णों के वर्गों का योग 2(a² + b² + c²) होता है।
- घनाभ का विकर्ण (space diagonal) √(a² + b² + c²) होता है, जो इस घनाभ के लिए √14 सेंटीमीटर है।
- घनाभ के 12 किनारे होते हैं, हर लंबाई के चार, इसलिए सभी किनारों की कुल लंबाई 4(a + b + c) होती है।
आगे की तैयारी
सामान्य भ्रम
- योग को आधा करना भूल जाना: a² + b² + c² 14 है, 28 नहीं।
- किनारों 2, 1 और 3 की जगह किनारों के वर्गों 4, 1 और 9 का, या वर्गों और मूलों के मिश्रण का गुणा कर देना।
यहाँ विकर्ण दिए हैं और किनारे निकालने हैं। 17 Sep 2024, 16:00, Quant Q.6 उलटी दिशा में चलता है: वह 1.2 सेंटीमीटर × 1.3 सेंटीमीटर × 1.5 सेंटीमीटर का घनाभाकार डिब्बा देकर सबसे लंबा विकर्ण, √(l² + b² + h²), पूछता है।
संबंधित PYQ
इस प्रश्न से सीधे संबंधित कोई पूर्व PYQ उपलब्ध नहीं।