सरलीकृत कीजिए: (tan² θ−sin² θ)⁄(2+tan² θ+cot² θ)

सही उत्तर — B. अंश और हर को अलग-अलग सरल कीजिए, फिर भाग दीजिए।

अंश में से sin²θ बाहर निकालिए: tan²θ − sin²θ = sin²θ(sec²θ − 1)
sec²θ − 1 = tan²θ लगाइए: = sin²θ · tan²θ = sin⁴θ⁄cos²θ

हर में 2 को 1 + 1 लिखिए: (1 + tan²θ) + (1 + cot²θ) = sec²θ + cosec²θ
भिन्नों को जोड़िए: 1⁄cos²θ + 1⁄sin²θ = (sin²θ + cos²θ)⁄(sin²θ cos²θ) = 1⁄(sin²θ cos²θ)

भाग दीजिए: sin⁴θ⁄cos²θ × sin²θ cos²θ = sin⁶θ → विकल्प (b)

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (a)
  sec⁶ θ — sec⁶θ प्रत्येक θ के लिए कम से कम 1 होता है, पर यह व्यंजक छोटा है: θ = 45° पर इसका मान (1 − 1⁄2) ⁄ (2 + 1 + 1) = 1⁄8 है, जबकि sec⁶45° = (√2)⁶ = 8।
• (c)
  cos² θ — cos²θ में वह cos बचा रह जाता है जो हल करते समय पूरी तरह कट जाता है। भाग देने के बाद केवल sin बचता है, और θ = 45° पर cos²θ = 1⁄2 है जबकि व्यंजक 1⁄8 है।
• (d)
  sin² θ — sin²θ बहुत जल्दी रुक जाने से आता है। अंश पहले ही sin⁴θ⁄cos²θ है, और हर से भाग देने का मतलब sin²θ cos²θ से गुणा करना है, जिससे sin की घात 6 हो जाती है। θ = 45° पर sin²θ = 1⁄2 है, 1⁄8 नहीं।

दो पाइथागोरस सर्वसमिकाएँ काम करती हैं: sec²θ − 1 = tan²θ और 1 + cot²θ = cosec²θ।

tan²θ + cot²θ के साथ आए अकेले 2 को 1 + 1 में तोड़ा जा सकता है, दोनों वर्गों के लिए एक-एक। तब हर sec²θ + cosec²θ बन जाता है, जो sec²θ · cosec²θ के बराबर है और (tanθ + cotθ)² के भी।

सब कुछ sin और cos में लिखकर काटना धीमा है, पर इस तरह के किसी भी व्यंजक पर काम करता है।

मुख्य तथ्य

• sec²θ − 1 = tan²θ और cosec²θ − 1 = cot²θ।
• 2 + tan²θ + cot²θ = (tanθ + cotθ)² = sec²θ · cosec²θ।
• tan²θ − sin²θ = tan²θ · sin²θ।

सामान्य भ्रम

• tan²θ + cot²θ को 1 मान लेना: 1 के बराबर tanθ · cotθ होता है, वर्गों का योग नहीं।
• अंश सरल होते ही रुक जाना: हर से भाग देने का मतलब अभी भी sin²θ cos²θ से गुणा करना है।

इस प्रश्न से सीधे संबंधित कोई पूर्व PYQ उपलब्ध नहीं।