निम्नलिखित संख्याओं की यह सीरीज़ दी गई है। इसमें एक संख्या गायब है। पैटर्न को समझें और गायब संख्या का पता लगाएं। 8, 32, 72, 128, ?

सही उत्तर — B.
नियम: हर पद 8 × n² है, इसलिए अंतर 24, 40, 56 हर बार 16 बढ़ते हैं।

8 = 8 × 1²
32 = 8 × 2²
72 = 8 × 3²
128 = 8 × 4²

अगला पद: 8 × 5² = 8 × 25 = 200 → विकल्प (b)।
जाँच: अगला अंतर 56 + 16 = 72, और 128 + 72 = 200।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (a)
  228 — 228 ÷ 8 = 28.5, जो पूर्ण संख्या नहीं है, इसलिए यह किसी वर्ग का 8 गुना नहीं। इसके लिए 128 के बाद 72 की जगह 100 का अंतर भी चाहिए।
• (c)
  250 — 250 ÷ 8 = 31.25, जो 8 × n² पैटर्न से बाहर है। अंतर 122 होता, जबकि 24, 40, 56 वाले अंतर 72 की ओर इशारा करते हैं।
• (d)
  300 — 300 ÷ 8 = 37.5, पैटर्न से बाहर। इसके लिए 128 से 172 की छलाँग चाहिए, जो अंतरों से मिलने वाले 72 के दोगुने से भी ज़्यादा है।

इस सीरीज़ को दो तरह से पढ़ा जा सकता है और दोनों एक ही उत्तर देते हैं, इसलिए इससे झट से जाँच हो जाती है।

पहले पद से भाग दीजिए: 8, 32, 72, 128 बन जाते हैं 1, 4, 9, 16, यानी 1 से 4 तक के वर्ग।

अंतर निकालिए: 24, 40, 56 हर बार स्थिर 16 से बढ़ते हैं, और स्थिर द्वितीय अंतर (second difference) n² पर बने नियम की पहचान है। दोनों तरह से अगला पद 200 है।

मुख्य तथ्य

• 8, 32, 72, 128, 200 क्रमशः 8 × 1², 8 × 2², 8 × 3², 8 × 4², 8 × 5² हैं।
• अंतर 24, 40, 56, 72 हर बार 16 बढ़ते हैं।
• स्थिर द्वितीय अंतर n² पर बने नियम की ओर इशारा करता है।

सामान्य भ्रम

• अंतर बढ़ाने के बजाय पिछला अंतर दोहरा देना: 128 + 56 = 184 तो किसी विकल्प में है ही नहीं

इस प्रश्न से सीधे संबंधित कोई पूर्व PYQ उपलब्ध नहीं।