यदि x + 1⁄x = 2√3, तो x³ + 1⁄x³ का मान क्या होगा?.

सही उत्तर — D. x का मान निकालने के बजाय घन वाली सर्वसमिका लगाइए।

सर्वसमिका: x³ + 1⁄x³ = (x + 1⁄x)³ − 3(x + 1⁄x)
योग का घन: (2√3)³ = 8 × 3√3 = 24√3
योग का तीन गुना: 3 × 2√3 = 6√3
घटाइए: 24√3 − 6√3 = 18√3 → विकल्प (d)

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (a)
  10√3 — 10√3 ≈ 17.3 बहुत छोटा है। x + 1⁄x = 2√3 के मूल √3 ± √2 हैं, और बड़े मूल (लगभग 3.15) का घन अकेले ही लगभग 31 है।
• (b)
  6√3 — 6√3 केवल सुधार वाला पद 3(x + 1⁄x) = 3 × 2√3 है। इसे घन में से घटाना है, यह उत्तर नहीं है।
• (c)
  24√3 — 24√3 अकेला (x + 1⁄x)³ है। योग का घन करने पर बीच का पद 3(x + 1⁄x) भी बनता है, इसलिए 6√3 अभी घटाना बाकी है।

x + 1⁄x = s के दोनों पक्षों का घन कीजिए और (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) से फैलाइए:

(x + 1⁄x)³ = x³ + 1⁄x³ + 3 · x · (1⁄x) · (x + 1⁄x) = x³ + 1⁄x³ + 3s
इसलिए x³ + 1⁄x³ = s³ − 3s

गुणनफल x · 1⁄x = 1 ही इन सर्वसमिकाओं को चलाता है, इसलिए x का मान कभी नहीं चाहिए। वर्ग वाला रूप है x² + 1⁄x² = s² − 2।

मुख्य तथ्य

• अगर x + 1⁄x = s, तो x³ + 1⁄x³ = s³ − 3s।
• अगर x + 1⁄x = s, तो x² + 1⁄x² = s² − 2।
• अगर x − 1⁄x = d, तो x³ − 1⁄x³ = d³ + 3d।
• (√3)³ = 3√3, इसलिए (2√3)³ = 8 × 3√3 = 24√3।

सामान्य भ्रम

• (2√3)³ = 24√3 पर रुक जाना और 3(x + 1⁄x) घटाना भूल जाना।
• 2√3 का घन 8√3 कर देना: √3 का भी घन होता है, और (√3)³ = 3√3।

इस प्रश्न से सीधे संबंधित कोई पूर्व PYQ उपलब्ध नहीं।