किसी फोटॉन की ऊर्जा, E को E = hf के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां f आवृत्ति है और h प्लांक स्थिरांक है । h की विमाएं (dimensions) किसके समान हैं ?
- (a)रैखिक संवेग
- (b)कोणीय संवेग
- (c)विस्थापन
- (d)बलाघूर्ण
उत्तर
क्यों
सही — B, कोणीय संवेग। E = hf से h = E / f, जिसका मात्रक ऊर्जा × समय = जूल-सेकंड (J.s) होता है। कोणीय संवेग (L = I × ω, या mvr) का मात्रक भी kg.m^2.s^-1 = J.s है, अर्थात् वही विमीय सूत्र [M L^2 T^-1]। अतः प्लांक स्थिरांक विमीय रूप से कोणीय संवेग के समरूप है — दोनों ही 'क्रिया' (action) की राशियाँ हैं।
अन्य विकल्प क्यों गलत हैं
- (a)रैखिक संवेग — रैखिक संवेग p = mv का मात्रक kg.m.s^-1 है, विमीय सूत्र [M L T^-1] — यह प्लांक स्थिरांक [M L^2 T^-1] से लंबाई की एक घात कम है।
- (c)विस्थापन — विस्थापन केवल एक लंबाई है, [L]। इसमें प्लांक स्थिरांक की न द्रव्यमान पर निर्भरता है और न समय पर, इसलिए यह मेल नहीं खा सकता।
- (d)बलाघूर्ण — बलाघूर्ण = बल × दूरी = N.m = kg.m^2.s^-2, विमीय सूत्र [M L^2 T^-2] — यह ऊर्जा के समान है, h के नहीं। प्लांक स्थिरांक ऊर्जा × समय है, जिसमें समय की एक अतिरिक्त घात है (T^-1, न कि T^-2)।
अवधारणा
प्लांक स्थिरांक h (लगभग 6.626 × 10^-34 J.s) फोटॉन की ऊर्जा को उसकी आवृत्ति से E = hf द्वारा जोड़ता है। ऊर्जा (जूल) को आवृत्ति (प्रति सेकंड) से भाग देने पर जूल-सेकंड मिलता है। ऊर्जा × समय — अथवा समतुल्य रूप से संवेग × दूरी — के मात्रक वाली राशियों को 'क्रिया' कहा जाता है, और कोणीय संवेग की विमाएँ ठीक यही [M L^2 T^-1] हैं।
विमीय हिसाब सीधे E = hf से कीजिए: h = E / f = ऊर्जा / (1/समय) = ऊर्जा × समय। अब विकल्पों को जाँचिए — रैखिक संवेग [M L T^-1] है, विस्थापन [L] है, और बलाघूर्ण [M L^2 T^-2] पर ऊर्जा के बराबर है; इनमें से कोई भी ऊर्जा × समय से मेल नहीं खाता। केवल कोणीय संवेग, [M L^2 T^-1], ऊर्जा × समय के बराबर है, अतः वही उत्तर है। यही कारण है कि लघुकृत स्थिरांक h-bar = h / 2π वहीं-वहीं प्रकट होता है जहाँ कोणीय संवेग क्वांटीकृत होता है।
मुख्य तथ्य
- h लगभग 6.626 × 10^-34 J.s है; जूल-सेकंड 'क्रिया' का मात्रक है।
- h का विमीय सूत्र [M L^2 T^-1] है — कोणीय संवेग के समान।
- रैखिक संवेग [M L T^-1] है और बलाघूर्ण/ऊर्जा [M L^2 T^-2] — इनमें से कोई h से मेल नहीं खाता।
- कोणीय संवेग h-bar = h / 2π के मात्रकों में क्वांटीकृत होता है (उदाहरण के लिए बोर की शर्त L = n × h-bar)।
आगे की तैयारी
सामान्य भ्रम
- बलाघूर्ण को इसलिए चुन लेना कि वह ऊर्जा की तरह [M L^2 T^-2] है — किंतु h ऊर्जा × समय है, जिसमें समय की एक अतिरिक्त घात है।
- रैखिक संवेग [M L T^-1] को कोणीय संवेग [M L^2 T^-1] के साथ भ्रमित कर लेना।
विमाएँ 'किस राशि की विमाएँ X के समान हैं' के रूप में पूछी जाती हैं — X को आधारी मात्रकों (M, L, T) में घटाइए और मिलान कीजिए।
संबंधित PYQ
कथन (A): प्रकाश के दृश्य स्पेक्ट्रम में लाल प्रकाश हरे प्रकाश की तुलना में अधिक ऊर्जावान होता है। कारण (R): लाल प्रकाश की तरंगदैर्घ्य हरे प्रकाश की तरंगदैर्घ्य से अधिक होती है।
- (a) A और R दोनों अलग-अलग सही हैं और R, A की सही व्याख्या है
- (b) A और R दोनों अलग-अलग सही हैं किंतु R, A की सही व्याख्या नहीं है
- (c) A सही है किंतु R गलत है
- (d) A गलत है किंतु R सही है
उत्तर(d) A गलत है किंतु R सही है
वही प्लांक संबंध E = hf (समतुल्य रूप से E = hc/λ)। वहाँ बात यह है कि अधिक तरंगदैर्घ्य वाला लाल प्रकाश हरे की तुलना में कम ऊर्जावान होता है, इसलिए कथन गलत है; यहाँ यह देखना है कि h = E/f कोणीय संवेग की विमाएँ रखता है। दोनों का आधार E = hf ही है।
अभ्यास
- अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
निम्नलिखित में से किस युग्म का विमीय सूत्र समान है?
- (a)कार्य और बलाघूर्ण
- (b)बल और संवेग
- (c)दाब और ऊर्जा
- (d)शक्ति और बल
उत्तर(a) कार्य और बलाघूर्ण — दोनों [M L^2 T^-2] हैं। - अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
प्लांक स्थिरांक का विमीय सूत्र है
- (a)[M L^2 T^-1]
- (b)[M L T^-1]
- (c)[M L^2 T^-2]
- (d)[M L^-1 T^-1]
उत्तर(a) [M L^2 T^-1] — ऊर्जा × समय, जो कोणीय संवेग के समान है।