एक गेंद है जिसका द्रव्यमान 320 g है । इसे जब एक ऊंचाई से मुक्त रूप से छोड़ा जाता है तो इसकी स्थितिज ऊर्जा 625 J है । वह किस गति (स्पीड) से जमीन पर टकराएगी ?

सही उत्तर — A, 62.5 m/s। मुक्त पतन में (वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करते हुए) समस्त गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में बदल जाती है, अतः जमीन पर गतिज ऊर्जा = स्थितिज ऊर्जा = 625 J। m = 320 g = 0.32 kg रखने पर (1/2) x m x v^2 = 625 से v^2 = 2 x 625 / 0.32 = 3906.25 मिलता है, अतः v = sqrt(3906.25) = 62.5 m/s।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (b)
  2.0 m/s — यह बहुत ही कम है: (1/2) x 0.32 x 2.0^2 = 0.64 J, जो दिए गए 625 J के आसपास भी नहीं है।
• (c)
  50 m/s — इससे (1/2) x 0.32 x 50^2 = 400 J मिलता है, जो 625 J से अब भी कम है।
• (d)
  40 m/s — इससे (1/2) x 0.32 x 40^2 = 256 J मिलता है, जो 625 J से बहुत कम है।

मुक्त पतन में यांत्रिक ऊर्जा का संरक्षण: किसी ऊँचाई पर पिंड के पास जो स्थितिज ऊर्जा होती है, वह जमीन तक पहुँचते-पहुँचते पूरी की पूरी गतिज ऊर्जा में बदल जाती है (वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करते हुए)। अतः जमीन पर गतिज ऊर्जा = शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा = (1/2) m v^2। द्रव्यमान को किलोग्राम में बदलकर v निकाल लीजिए।

मुख्य तथ्य

• मुक्त पतन में ऊर्जा संरक्षण: स्थितिज ऊर्जा में ह्रास = गतिज ऊर्जा में वृद्धि, अर्थात् mgh = (1/2) m v^2।
• गतिज ऊर्जा = (1/2) x m x v^2; गतिज ऊर्जा = 625 J और m = 0.32 kg के साथ v^2 = 2 x 625 / 0.32 = 3906.25।
• sqrt(3906.25) = 62.5, अतः v = 62.5 m/s।
• 320 g = 0.32 kg (ग्राम को 1000 से भाग दीजिए)।

सामान्य भ्रम

• द्रव्यमान को किलोग्राम के बजाय ग्राम में ही रख देना।
• गतिज ऊर्जा = (1/2) m v^2 में आधे का गुणक छोड़ देना।

• अभ्यास प्रश्न — वास्तविक PYQ नहीं

  2 kg द्रव्यमान के किसी पिंड की गतिज ऊर्जा 100 J है। उसकी चाल है

  • (a)10 m/s
  • (b)50 m/s
  • (c)100 m/s
  • (d)5 m/s
  उत्तर(a) 10 m/s — (1/2) x 2 x v^2 = 100 से v^2 = 100, v = 10।
• अभ्यास प्रश्न — वास्तविक PYQ नहीं

  कोई पिंड h ऊँचाई से मुक्त रूप से गिरता है। जमीन पर पहुँचने के क्षण उसकी गतिज ऊर्जा बराबर होती है

  • (a)उसकी आरंभिक स्थितिज ऊर्जा की आधी
  • (b)उसकी आरंभिक स्थितिज ऊर्जा के
  • (c)उसकी आरंभिक स्थितिज ऊर्जा की दुगुनी
  • (d)शून्य
  उत्तर(b) उसकी आरंभिक स्थितिज ऊर्जा के — ऊर्जा संरक्षित रहती है, अतः समस्त स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा बन जाती है।