m द्रव्यमान के एक कण की गति को संबंध y = ut − ½ gt² द्वारा वर्णित किया जाता है, जहां u कण का प्रारंभिक वेग है । कण पर कार्यशील बल क्या है ?
- (a)F = m (du/dt)
- (b)F = mg
- (c)F = m (dy/dt)
- (d)F = − mg
उत्तर
क्यों
सही — D, F = − mg। दिया गया संबंध कण की स्थिति है, इसलिए बल तक पहुँचने के लिए इसे दो बार अवकलित करना होगा और फिर न्यूटन के दूसरे नियम को लागू करना होगा। y = ut − ½gt² को एक बार अवकलित करने पर वेग मिलता है, dy/dt = u − gt; इसे फिर से अवकलित करने पर त्वरण मिलता है, d²y/dt² = − g, जो एक अचर राशि है।
निश्चित द्रव्यमान वाले पिंड के लिए, F = m × त्वरण, इसलिए F = m(− g) = − mg। ऋण चिह्न केवल सजावट नहीं है — जैसा संबंध छपा है उसमें प्रारंभिक वेग u की दिशा को धनात्मक माना गया है, और त्वरण उसके विपरीत निकलता है, इसलिए कण पर कार्यशील बल विपरीत दिशा में संकेत करता है। वह बल केवल कण का भार है, जो इसे वापस ज़मीन की ओर खींचता है।
अन्य विकल्प क्यों गलत हैं
- (a)F = m (du/dt) — u प्रारंभिक वेग है — t = 0 पर स्थिर किया गया मान — इसलिए यह एक अचर है और du/dt शून्य होता है। इस प्रकार यह व्यंजक F = 0 देता है, जो ऐसे कण के लिए सही नहीं हो सकता जो मंद हो रहा है और वापस मुड़ रहा है। न्यूटन के दूसरे नियम को तात्क्षणिक वेग के परिवर्तन-दर की आवश्यकता है, न कि आरंभ में स्थिर की गई किसी संख्या की।
- (b)F = mg — परिमाण सही है परंतु चिह्न गलत है। जैसा संबंध छपा है उससे कार्य करते हुए, त्वरण − g है, इसलिए बल − mg है; + mg लिखने का अर्थ होगा कि बल प्रक्षेपण की दिशा में कार्य कर रहा है, जिससे कण वापस लौटने के बजाय और तेज़ हो जाएगा।
- (c)F = m (dy/dt) — dy/dt वेग है, इसलिए m(dy/dt) द्रव्यमान गुणा वेग है — अर्थात संवेग, जिसका मात्रक kg m s⁻¹ है। बल का मात्रक kg m s⁻² होता है, इसलिए यह एक साधारण मात्रक-जाँच में ही असफल हो जाता है। बल संवेग की परिवर्तन-दर है, जिसके लिए एक और अवकलन आवश्यक है।
अवधारणा
निश्चित द्रव्यमान वाले पिंड के लिए न्यूटन का दूसरा नियम F = ma के रूप में लिखा जाता है, और त्वरण समय के सापेक्ष स्थिति का द्वितीय अवकलज होता है। इसलिए जब भी कोई प्रश्न आपको स्थिति-समय संबंध देकर बल पूछे, मार्ग निश्चित है: दो बार अवकलित कीजिए, फिर द्रव्यमान से गुणा कीजिए। संबंध y = ut − ½gt² उस कण का मानक समीकरण है जिसे चाल u से प्रक्षेपित किया जाता है और फिर जिस पर केवल g परिमाण का एक समरूप अधोमुखी खिंचाव कार्य करता है।
यह प्रश्न दो बातों से तय होता है। पहली है यह जानना कि कौन-सा प्रतीक चर है और कौन-सा अचर — t बदलता है, u नहीं, जिससे विकल्प (a) तुरंत समाप्त हो जाता है। दूसरी है छपे हुए संबंध में पहले से निर्मित चिह्न-परिपाटी का सम्मान करना। चूँकि − ½gt² पद में ऋण चिह्न है, समीकरण u की दिशा को धनात्मक मानकर लिखी गई है, और उससे निकलने वाला त्वरण + g के बजाय − g है।
जो अभ्यर्थी भार के केवल परिमाण से उत्तर देता है वह विकल्प (b) चुन बैठता है और अंक गँवा देता है। विकल्प (c) पर भी एक क्षण रुकना उचित है, भले ही भौतिकी पकड़ में न आए, क्योंकि मात्रक-जाँच इसे कुछ ही क्षणों में समाप्त कर देती है।
मुख्य तथ्य
- y = ut − ½gt² को एक बार अवकलित करने पर वेग v = u − gt मिलता है; फिर से अवकलित करने पर त्वरण a = − g मिलता है।
- स्थिर द्रव्यमान के लिए न्यूटन का दूसरा नियम F = ma है, इसलिए a = − g से F = − mg मिलता है।
- u गति का प्रारंभिक वेग है, एक अचर, इसलिए du/dt = 0।
- m(dy/dt) का मात्रक संवेग (kg m s⁻¹) का है, बल (kg m s⁻², न्यूटन) का नहीं।
आगे की तैयारी
सामान्य भ्रम
- परिमाण mg से उत्तर देना और छपे हुए संबंध द्वारा बाध्य किए गए चिह्न की उपेक्षा करना।
- प्रारंभिक वेग u को अवकलित करना, जो एक अचर है, स्थिति y के बजाय।
- m(dy/dt), जो संवेग है, को बल से गड्डमड्ड कर देना — मात्रक-जाँच इसे तय कर देती है।
इसे किसी छपे हुए गतिकी-संबंध पर एक-पंक्ति के कलन-एवं-मात्रक जाँच के रूप में पूछा जाता है, जिसमें उत्तर का चिह्न ही भेद करने वाला तत्व होता है।
संबंधित PYQ
पृथ्वी पर एक पिंड का द्रव्यमान 100 किग्रा है (गुरुत्वीय त्वरण, gₑ = 10 मी/से²)। यदि चंद्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण = gₑ/6 है, तो चंद्रमा पर उस पिंड का द्रव्यमान होगा
- (a) 100/6 किग्रा
- (b) 60 किग्रा
- (c) 100 किग्रा
- (d) 600 किग्रा
उत्तर(c) 100 किग्रा
उसी संबंध के दूसरे आधे भाग को परखता है। यहाँ द्रव्यमान m स्थिर रहता है जबकि g बदलता है; NDA प्रश्न में g स्थिर है और प्रश्न यह है कि m और g मिलकर क्या उत्पन्न करते हैं, अर्थात mg परिमाण का बल।
NDA_GAT_2021_II_Q1152021किसी वस्तु का भार और द्रव्यमान न्यूटन के गति के नियमों के साथ परिभाषित किए जाते हैं। निम्नलिखित में से कौन-सा सत्य है ?
- (a) भार आनुपातिकता का एक अचर है।
- (b) द्रव्यमान आनुपातिकता का एक अचर है।
- (c) द्रव्यमान आनुपातिकता का अचर नहीं है।
- (d) भार एक सार्वत्रिक अचर है।
उत्तर(b) द्रव्यमान आनुपातिकता का एक अचर है।
इस प्रश्न में चुपचाप प्रयुक्त कदम को स्पष्ट करता है — द्रव्यमान ही वह अचर है जो F = ma में बल को त्वरण से जोड़ता है, यही कारण है कि त्वरण − g को m से गुणा करने पर बल मिलता है।
NDA_GAT_2019_II_Q9720192 किग्रा द्रव्यमान के एक दृढ़ पिंड को ज़मीन से 50 मी की ऊँचाई पर स्थिर रुके गुब्बारे से गिराया जाता है। ज़मीन को छूते समय पिंड की चाल और गुब्बारे से गिराए जाने पर कुल ऊर्जा क्रमशः हैं (गुरुत्वीय त्वरण = 9·8 मी/से²)
- (a) 980 मी से⁻¹ और 980 J
- (b) √980 मी से⁻¹ और √980 J
- (c) 980 मी से⁻¹ और √980 J
- (d) √980 मी से⁻¹ और 980 J
उत्तर(d) √980 मी से⁻¹ और 980 J
वही समरूप अधोमुखी त्वरण g, प्रतीकात्मक के बजाय संख्यात्मक रूप में प्रयुक्त — उस गति पर एक हल किया हुआ अभ्यास जिसे y = ut − ½gt² वर्णित करता है।
अभ्यास
- अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
एक कण इस प्रकार गति करता है कि उसकी स्थिति x = at³ द्वारा दी जाती है, जहाँ a एक अचर है। कण पर कार्यशील बल किसके अनुक्रमानुपाती है ?
- (a)t
- (b)t²
- (c)t³
- (d)एक अचर, t से स्वतंत्र
उत्तर(a) t — दो बार अवकलित करने पर त्वरण 6at मिलता है, इसलिए F = m(6at) समय के सीधे अनुक्रमानुपात में बढ़ता है। - अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
एक गेंद को ऊर्ध्वाधर ऊपर फेंका जाता है। ऊपर उठते समय, उस पर कार्यशील बल (वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करते हुए) है
- (a)ऊपर की ओर और घटता हुआ
- (b)नीचे की ओर और अचर
- (c)उच्चतम बिंदु पर शून्य
- (d)पहले ऊपर की ओर फिर नीचे की ओर
उत्तर(b) नीचे की ओर और अचर — केवल भार ही कार्य करता है, इसलिए पूरे समय बल mg नीचे की ओर रहता है, उच्चतम बिंदु सहित जहाँ वेग शून्य होता है।