कोई कण R त्रिज्या वाले वृत्त में एकसमान चाल (constant speed) v से गति कर रहा है । जब यह आधे वृत्त को पार करता है तो समय के साथ इसका औसत त्वरण क्या है ?
- (a)v²/R
- (b)πv²/2R
- (c)2v²/πR
- (d)0
उत्तर
क्यों
सही — C, 2v²/πR। औसत त्वरण वेग में हुए परिवर्तन को लिए गए समय से भाग देने पर मिलता है। आधे वृत्त में चाल तो v ही रहती है परंतु दिशा उलट जाती है, इसलिए वेग v से −v हो जाता है; परिवर्तन का परिमाण |Δv| = 2v होता है। आधी परिधि पार करने में लगने वाला समय, चाप की लंबाई πR को चाल से भाग देने पर मिलता है: t = πR/v।
भाग देने पर, औसत त्वरण = 2v ÷ (πR/v) = 2v²/(πR) होता है। यह तात्क्षणिक अभिकेंद्री त्वरण v²/R से भिन्न है, क्योंकि औसत त्वरण वेग के सीधी-रेखा परिवर्तन का उपयोग करता है, न कि क्षण-प्रतिक्षण मुड़ने का।
अन्य विकल्प क्यों गलत हैं
- (a)v²/R — यह किसी भी बिंदु पर तात्क्षणिक (अभिकेंद्री) त्वरण है, आधे वृत्त पर औसत नहीं। औसत, बीते समय (πR/v) में वेग के निवल परिवर्तन (2v) का उपयोग करता है, जिससे 2v²/πR प्राप्त होता है।
- (b)πv²/2R — यह π को गलत स्थान पर रखता है। सही औसत 2v²/πR है — गुणांक 2/π है, π/2 नहीं।
- (d)0 — औसत त्वरण तभी शून्य होता जब वेग अपने प्रारंभिक मान पर लौट आता, जैसा पूरे वृत्त में होता है। आधे वृत्त में वेग उलट जाता है, इसलिए Δv = 2v होता है, शून्य नहीं।
अवधारणा
औसत त्वरण, वेग के सदिश परिवर्तन को समय-अंतराल से भाग देने पर मिलता है, जो सामान्यतः तात्क्षणिक त्वरण से भिन्न होता है। एकसमान वृत्तीय गति में चाल स्थिर रहती है परंतु वेग की दिशा निरंतर बदलती रहती है, इसलिए वहाँ सदैव त्वरण विद्यमान रहता है। आधे चक्कर में वेग सदिश विपरीत दिशा में पलट जाता है, जिससे निवल परिवर्तन चाल का दोगुना हो जाता है।
जाल यह है कि अभिकेंद्री मान v²/R को उद्धृत कर दिया जाए, जो तात्क्षणिक त्वरण है। औसत के लिए, Δt में Δv का उपयोग कीजिए: वेग उलट जाता है (|Δv| = 2v) और आधा चक्कर पूरा करने में t = πR/v समय लगता है, अतः औसत 2v²/πR होता है। औसत केवल पूरे वृत्त में ही शून्य होता।
मुख्य तथ्य
- औसत त्वरण = (वेग में परिवर्तन) ÷ (समय), जो एक सदिश राशि है।
- स्थिर चाल v पर आधे वृत्त में, वेग उलट जाता है, इसलिए |Δv| = 2v होता है।
- आधे वृत्त के लिए समय = πR/v।
- औसत त्वरण = 2v ÷ (πR/v) = 2v²/πR, जो तात्क्षणिक v²/R से भिन्न है।
आगे की तैयारी
सामान्य भ्रम
- जब प्रश्न औसत त्वरण पूछे, तब v²/R (तात्क्षणिक अभिकेंद्री मान) उद्धृत कर देना।
- यह कहना कि आधे वृत्त में औसत शून्य होता है — यह केवल पूरे वृत्त में सत्य है।
एकसमान वृत्तीय गति में किसी कण से चौथाई, आधे या पूरे वृत्त पर औसत त्वरण पूछा जाता है — समय पर वेग के सदिश परिवर्तन का उपयोग कीजिए, अभिकेंद्री सूत्र का नहीं।
संबंधित PYQ
एक गोलाकार पिंड r त्रिज्या के वृत्तीय पथ पर एकसमान कोणीय वेग ω से गति करता है । निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सही है ?
- (a) पिंड का कोई त्वरण नहीं होता
- (b) पिंड का पथ के केंद्र की ओर निर्दिष्ट ω²r का एक त्रिज्यीय त्वरण होता है
- (c) पिंड का पथ के केंद्र से दूर निर्दिष्ट 2/5 ω²r का एक त्रिज्यीय त्वरण होता है
- (d) पिंड का अपने पथ के स्पर्शरेखीय ω²r का एक त्वरण होता है
उत्तर(b) पिंड का पथ के केंद्र की ओर निर्दिष्ट ω²r का एक त्रिज्यीय त्वरण होता है
वही विषय — वृत्तीय गति में सदैव त्वरण निहित रहता है (केंद्र की ओर निर्दिष्ट अभिकेंद्री त्वरण), और इसी कारण स्थिर चाल से वृत्त में घूमता कण कभी अत्वरित नहीं होता।
NDA_GAT_2021_II_Q1182021एक कार की वृत्तीय पथ पर एकसमान गति के दौरान अनुभव होता है
- (a) गति की दिशा में परिवर्तन के कारण चाल में परिवर्तन।
- (b) गति की दिशा में परिवर्तन के कारण वेग में परिवर्तन।
- (c) गति की दिशा में कोई परिवर्तन न होने के कारण संवेग में परिवर्तन।
- (d) गति की दिशा में परिवर्तन के कारण स्थिर संवेग।
उत्तर(b) गति की दिशा में परिवर्तन के कारण वेग में परिवर्तन।
इस प्रश्न के पीछे की मुख्य बात यही है — वृत्तीय गति में वेग इसलिए बदलता है क्योंकि उसकी दिशा बदलती है, और यही कारण है कि आधे वृत्त पर औसत त्वरण शून्य नहीं होता।
अभ्यास
- अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
कोई कण R त्रिज्या के वृत्त में स्थिर चाल v से गति करता है । एक पूर्ण परिक्रमण पर इसका औसत त्वरण है :
- (a)v²/R
- (b)2v²/πR
- (c)0
- (d)πv²/R
उत्तर(c) 0 — पूरे वृत्त में वेग अपने प्रारंभिक मान पर लौट आता है, इसलिए वेग में निवल परिवर्तन, और इसलिए औसत त्वरण, शून्य होता है। - अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
एकसमान वृत्तीय गति में, निम्नलिखित में से कौन-सी राशि स्थिर रहती है ?
- (a)वेग
- (b)चाल
- (c)त्वरण (सदिश के रूप में)
- (d)संवेग
उत्तर(b) चाल — चाल स्थिर रहती है, परंतु वेग, त्वरण और संवेग निरंतर दिशा बदलते रहते हैं।