किसी द्रव्यमान बिंदु (point mass) पर प्रत्येक 5·0 N के दो बल कार्यशील हैं । यदि उन बलों के बीच का कोण 60° है, तो उस द्रव्यमान बिंदु पर कार्यशील निवल बल का परिमाण किसके निकट होगा ?
- (a)8·6 N
- (b)4·3 N
- (c)5·0 N
- (d)6·7 N
उत्तर
क्यों
सही — A, लगभग 8·6 N। दो बलों को समांतर-चतुर्भुज नियम (कोज्या-नियम) द्वारा जोड़ा जाता है: P और Q बलों के बीच θ कोण होने पर परिणामी का परिमाण √(P² + Q² + 2PQcosθ) होता है। P = Q = 5 N और θ = 60° (अतः cos60° = 0·5) लेने पर: R = √(25 + 25 + 2 × 5 × 5 × 0·5) = √(25 + 25 + 25) = √75 ≈ 8·66 N, जो 8·6 N पर सन्निकटित होता है।
अन्य विकल्प क्यों गलत हैं
- (b)4·3 N — यह परिणामी का लगभग आधा है, जैसे बल आंशिक रूप से एक-दूसरे को निरस्त कर रहे हों। केवल 60° के कोण पर 5 N के दो बल काफी हद तक एक-दूसरे को सुदृढ़ करते हैं, जिससे लगभग 8·6 N मिलता है, 4·3 N नहीं।
- (c)5·0 N — परिणामी केवल तभी एक 5 N बल के बराबर होता जब दोनों बलों के बीच 120° का कोण होता। 60° पर वे अधिक सुदृढ़ होते हैं, जिससे √75 ≈ 8·6 N प्राप्त होता है।
- (d)6·7 N — यह √(25 + 25 + 25) = √75 से मेल नहीं खाता। लगभग 6·7 N के मान के लिए अधिक कोण (छोटा cosθ) चाहिए होता; 60° पर उत्तर लगभग 8·6 N है।
अवधारणा
जब किसी बिंदु पर दो बल कार्य करते हैं, तो उनका संयुक्त प्रभाव एक परिणामी बल होता है, जिसे समांतर-चतुर्भुज नियम से ज्ञात किया जाता है। इसका परिमाण √(P² + Q² + 2PQcosθ) होता है, जहाँ θ उनके बीच का कोण है। कोण जितना छोटा होगा, बल उतना ही अधिक एक-दूसरे को सुदृढ़ करेंगे; 0° पर वे सीधे जुड़ जाते हैं, और 180° पर वे घट जाते हैं।
सीधे √(P² + Q² + 2PQcosθ) में मान रखिए। बराबर 5 N के बल 60° पर मूल के नीचे तीन बराबर 25 के पद देते हैं, अतः R = √75 ≈ 8·66 N। सीमाओं की जाँच सहायक होती है: 0° पर यह 10 N होता, 90° पर लगभग 7·1 N, और 120° पर ठीक 5 N — 8·6 N, 0° और 90° के मानों के बीच उचित रूप से बैठता है।
मुख्य तथ्य
- दो बलों का परिणामी: R = √(P² + Q² + 2PQcosθ)।
- P = Q = 5 N और θ = 60° के लिए: R = √(25 + 25 + 25) = √75 ≈ 8·66 N।
- 60° पर बराबर बल अत्यधिक सुदृढ़ होते हैं — परिणामी (8·6 N) उनके योग (10 N) के निकट है।
- दो बराबर बलों का परिणामी उनमें से एक के बराबर तभी होता है जब उनके बीच का कोण 120° हो।
आगे की तैयारी
सामान्य भ्रम
- कोण की उपेक्षा करते हुए परिमाणों को सीधे जोड़कर 10 N मान लेना।
- कोज्या में गलत कोण का उपयोग करना — यह दोनों बलों के बीच का कोण होना चाहिए।
दिए गए परिमाण के दो बल किसी बताए गए कोण पर कार्य करते हैं और परिणामी ज्ञात करने को कहा जाता है — R = √(P² + Q² + 2PQcosθ) लगाइए और 0°/90°/180° की सीमाओं से जाँच कीजिए।
संबंधित PYQ
निम्नलिखित में से कौन-सी एक सदिश राशि है ?
- (a) संवेग
- (b) दाब
- (c) ऊर्जा
- (d) कार्य
उत्तर(a) संवेग
बल भी, संवेग की भाँति, परिमाण और दिशा दोनों वाला एक सदिश है — यही कारण है कि दो बलों को साधारण संख्याओं की तरह जोड़ने के बजाय, कोण को ध्यान में रखते हुए समांतर-चतुर्भुज नियम से जोड़ना पड़ता है।
अभ्यास
- अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
10 N के दो बराबर बल एक-दूसरे से 120° पर कार्य करते हैं । उनका परिणामी है :
- (a)20 N
- (b)10 N
- (c)0 N
- (d)17·3 N
उत्तर(b) 10 N — बराबर बलों के लिए 120° का कोण उनमें से एक के बराबर परिणामी देता है: √(100 + 100 + 2 × 100 × (−0·5)) = √100 = 10 N। - अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
3 N और 4 N के दो बल एक-दूसरे पर समकोण पर कार्य करते हैं । उनका परिणामी है :
- (a)1 N
- (b)5 N
- (c)7 N
- (d)12 N
उत्तर(b) 5 N — 90° पर, R = √(3² + 4²) = √25 = 5 N।