दो सर्वसम पात्र (container), X और Y, नगण्य आयतन की पतली नलिका द्वारा तल पर जुड़े हुए हैं । इस नलिका के अंदर एक वाल्व है, जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है । प्रारंभ में पात्र X के अंदर h ऊँचाई तक एक द्रव भरा हुआ है और पात्र Y रिक्त है । जब वाल्व खोला जाता है, तो दोनों पात्रों में समान मात्रा में द्रव साम्यावस्था (equilibrium) में होता है । यदि (वाल्व खोले जाने के पहले) द्रव की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा P₁ है और अंतिम स्थितिज ऊर्जा P₂ है, तो :

सही — C, P₁ = 2P₂। द्रव स्तंभ की स्थितिज ऊर्जा को उसके भार के रूप में लीजिए, जो उसके द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करता है, और वह केंद्र उसकी मध्य-ऊँचाई पर स्थित होता है। प्रारंभ में m द्रव्यमान का पूरा द्रव पात्र X में h ऊँचाई तक भरा है, इसलिए इसका द्रव्यमान केंद्र h/2 पर है और P₁ = mg(h/2) होता है।

वाल्व खुलने पर द्रव दोनों सर्वसम पात्रों में बराबर-बराबर बँट जाता है, इसलिए प्रत्येक में h/2 ऊँचाई तक m/2 द्रव्यमान होता है, और प्रत्येक आधे भाग का द्रव्यमान केंद्र h/4 पर होता है। कुल अंतिम ऊर्जा P₂ = 2 × (m/2)g(h/4) = mgh/4 होती है। तुलना करने पर, P₁ = mgh/2 और P₂ = mgh/4, अतः P₁ = 2P₂ — जैसे-जैसे द्रव समतल होता है, वह अपनी आधी स्थितिज ऊर्जा खो देता है।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (a)
  P₁ = P₂ — यहाँ संचित स्थितिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती — फैलते समय द्रव कम औसत ऊँचाई पर आ जाता है, इसलिए P₂, P₁ से कम होता है, बराबर नहीं।
• (b)
  P₁ = 4P₂ — यह गिरावट को अधिक बता देता है। द्रव्यमान केंद्र h/2 से h/4 तक गिरता है — यानी 2 गुना, 4 गुना नहीं — इसलिए P₁ = 2P₂ होता है।
• (d)
  P₁ = 8P₂ — यह अनुपात कहीं अधिक बड़ा है; द्रव्यमान केंद्र केवल आधा होता है (h/2 → h/4), जिससे P₁ = 2P₂ प्राप्त होता है।

किसी द्रव-राशि की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा को Mgh꜀ के रूप में लिया जा सकता है, जहाँ h꜀ उसके द्रव्यमान केंद्र की ऊँचाई है। जब एक पात्र का द्रव बहकर दो सर्वसम पात्रों में आधी-आधी ऊँचाई तक भर जाता है, तो द्रव्यमान वही रहता है परंतु उसका द्रव्यमान केंद्र h/2 से h/4 तक गिर जाता है, जिससे स्थितिज ऊर्जा आधी हो जाती है। खोई हुई ऊर्जा द्रव के व्यवस्थित होने के दौरान ऊष्मा और छोटी गतियों के रूप में क्षय हो जाती है।

मुख्य तथ्य

• द्रव स्तंभ की स्थितिज ऊर्जा = (उसका भार) × (उसके द्रव्यमान केंद्र की ऊँचाई)।
• H ऊँचाई के स्तंभ का द्रव्यमान केंद्र H/2 पर होता है।
• प्रारंभ में P₁ = mg(h/2); अंत में दो आधे स्तंभों से P₂ = mg(h/4) प्राप्त होता है।
• अतः P₁ = 2P₂ — समतल होने पर द्रव अपनी आधी स्थितिज ऊर्जा खो देता है।

सामान्य भ्रम

• यह मान लेना कि द्रव के समतल होने पर स्थितिज ऊर्जा संरक्षित रहती है — कुछ ऊर्जा ऊष्मा और गति के रूप में खो जाती है।
• यह भूल जाना कि केवल ऊँचाई ही नहीं, द्रव्यमान भी दोनों पात्रों में बँट जाता है।

• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  एक टंकी में h ऊँचाई के जल के एकसमान स्तंभ का द्रव्यमान केंद्र किस ऊँचाई पर होता है ?

  • (a)h
  • (b)h/2
  • (c)h/4
  • (d)2h/3
  उत्तर(b) h/2 — एकसमान स्तंभ का द्रव्यमान केंद्र उसकी मध्य-ऊँचाई पर स्थित होता है।
• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  एक पात्र में h ऊँचाई तक भरे जल को दो सर्वसम पात्रों में बराबर-बराबर समतल होने दिया जाता है । जल की स्थितिज ऊर्जा :

  • (a)समान रहती है
  • (b)दोगुनी हो जाती है
  • (c)आधी हो जाती है
  • (d)शून्य हो जाती है
  उत्तर(c) आधी हो जाती है — द्रव्यमान केंद्र h/2 से h/4 तक गिरता है, इसलिए स्थितिज ऊर्जा घटकर आधी रह जाती है।