एक वाहन विराम अवस्था से किसी सरल रेखीय पथ पर चलना आरंभ करता है । पहले t सेकंड में यह 2 m/s² के त्वरण से चलता है और उसके बाद परवर्ती 10 सेकंड में यह 5 m/s² के त्वरण से चलता है । इस वाहन द्वारा तय की गई कुल दूरी 550 m है । समय t का मान क्या है ?
- (a)10 s
- (b)13 s
- (c)20 s
- (d)25 s
उत्तर
क्यों
सही उत्तर — A, 10 s। चरण 1 (विराम से, a = 2 m/s², t सेकंड): दूरी s₁ = ½·2·t² = t², और प्राप्त चाल v = 2t। चरण 2 (a = 5 m/s², 10 सेकंड, आरंभिक चाल 2t): दूरी s₂ = (2t)(10) + ½·5·(10)² = 20t + 250। कुल s₁ + s₂ = t² + 20t + 250 = 550, अतः t² + 20t − 300 = 0, अर्थात् (t + 30)(t − 10) = 0, जिससे t = 10 s मिलता है (ऋणात्मक मूल अस्वीकार्य है)।
अन्य विकल्प क्यों गलत हैं
- (b)13 s — t = 13 रखने पर t² + 20t + 250 = 169 + 260 + 250 = 679 m मिलता है, 550 m नहीं।
- (c)20 s — t = 20 रखने पर 400 + 400 + 250 = 1050 m मिलता है, जो 550 m से कहीं अधिक है।
- (d)25 s — t = 25 रखने पर 625 + 500 + 250 = 1375 m मिलता है; इस द्विघात समीकरण का एकमात्र धनात्मक मूल 10 s ही है।
अवधारणा
यह दो चरणों वाली एकसमान त्वरित गति का प्रश्न है, जिसे s = ut + ½at² से हल किया जाता है। मुख्य कड़ी यह है कि पहले चरण का अंतिम वेग ही दूसरे चरण का आरंभिक वेग (u = 2t) बन जाता है। दोनों दूरियों को जोड़कर दिए गए कुल के बराबर रखने पर t में एक द्विघात समीकरण मिलती है।
गति को चरणों में बाँटिए और अंतिम चाल को आगे ले जाइए। s₁ (विराम से आरंभ) और s₂ (2t से आरंभ) बनाइए, जोड़िए और 550 m के बराबर रखिए। द्विघात का ऋणात्मक मूल भौतिक रूप से असंभव है, अतः t = 10 s शेष रहता है। परीक्षा के दबाव में विकल्पों को वापस रखकर जाँचना (बैक-सॉल्विंग) एक तेज़ उपाय है।
मुख्य तथ्य
- गति के समीकरण (नियत a): v = u + at, s = ut + ½at², v² = u² + 2as।
- विराम से t सेकंड तक 2 m/s² पर: दूरी = t², अंतिम चाल = 2t।
- इसके बाद 10 सेकंड तक 5 m/s² पर, 2t से आरंभ करते हुए: दूरी = 20t + 250।
- t² + 20t − 300 = 0 -> t = 10 s।
आगे की तैयारी
सामान्य भ्रम
- यह भूल जाना कि चरण 2 का आरंभ चाल 2t से होता है, विराम से नहीं।
- द्विघात समीकरण का ऋणात्मक मूल चुन लेना।
त्वरित गति के एक या दो चरणों पर s = ut + ½at² लगाकर संख्यात्मक प्रश्न के रूप में पूछा जाता है।
संबंधित PYQ
इस प्रश्न से सीधे संबंधित कोई पूर्व PYQ उपलब्ध नहीं।
अभ्यास
- अभ्यास प्रश्न — वास्तविक PYQ नहीं
कोई पिंड विराम से आरंभ करके 2 m/s² के एकसमान त्वरण से चलता है। पहले 5 सेकंड में तय दूरी है
- (a)10 m
- (b)25 m
- (c)50 m
- (d)100 m
उत्तर(b) 25 m — s = ½·2·5² = 25 m। - अभ्यास प्रश्न — वास्तविक PYQ नहीं
एक कार विराम से आरंभ करके एकसमान त्वरण से 10 सेकंड में 20 m/s तक पहुँच जाती है। उसका त्वरण है
- (a)1 m/s²
- (b)2 m/s²
- (c)5 m/s²
- (d)10 m/s²
उत्तर(b) 2 m/s² — a = v/t = 20/10।