एक आयत ABCD, f फोकस दूरी वाले अवतल दर्पण के सामने रखा हुआ है, जिसके A और B कोने दर्पण से क्रमशः 2f और 3f की दूरी पर हैं, और AB प्रधान अक्ष पर हैं, जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है । यह दर्पण के सामने प्रतिबिम्ब A′B′C′D′ बनाता है । B′C′ का A′D′ से अनुपात क्या है ?

सही — C, 1/2। AB प्रधान अक्ष पर स्थित है, A 2f पर और B 3f पर है, इसलिए आयत की दोनों ऊर्ध्वाधर भुजाएँ वस्तु-दूरियों 2f (भुजा AD) और 3f (भुजा BC) पर स्थित हैं। प्रत्येक भुजा की प्रतिबिम्ब ऊँचाई वहाँ के दर्पण के अनुप्रस्थ आवर्धन m = v/u के अनुसार बदलती है।

u = 2f पर प्रतिबिम्ब v = 2f पर बनता है, इसलिए |m| = 1 और A′D′, AD के बराबर होता है। u = 3f पर दर्पण सूत्र 1/v + 1/u = 1/f से v = 3f/2 मिलता है, अतः |m| = (3f/2)/(3f) = 1/2 और B′C′ = ½·BC होता है। चूँकि आयत में AD = BC होता है, B′C′ / A′D′ = (1/2) / 1 = 1/2 प्राप्त होता है।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (a)
  1 — 1 का अनुपात होने के लिए दोनों सिरों पर समान आवर्धन आवश्यक होगा, परंतु AD और BC भिन्न वस्तु-दूरियों (2f और 3f) पर स्थित हैं, इसलिए उनके प्रतिबिम्ब भिन्न गुणकों से आवर्धित होते हैं।
• (b)
  2 — यह अनुपात को उलट देता है। दूर वाली भुजा (3f पर) निकट वाली भुजा (2f पर) से कम आवर्धित होती है, इसलिए B′C′, A′D′ से छोटा होता है, बड़ा नहीं।
• (d)
  2/3 — 2/3, दर्पण सूत्र को गलत तरीके से संभालने से आता है (उदाहरण के लिए, वस्तु-दूरियों 2f/3f का अनुपात ले लेना) न कि दोनों अनुप्रस्थ आवर्धनों की सही गणना करने से।

किसी अवतल दर्पण के लिए वस्तु-दूरी u और प्रतिबिम्ब-दूरी v, 1/v + 1/u = 1/f को संतुष्ट करते हैं, और अनुप्रस्थ (रैखिक) आवर्धन m = -v/u होता है। वक्रता-केंद्र (u = 2f) पर रखी गई अनुप्रस्थ वस्तु का प्रतिबिम्ब समान आकार का बनता है (|m| = 1); अधिक दूर रखने पर प्रतिबिम्ब छोटा बनता है। यहाँ आयत की दो ऊर्ध्वाधर कोर, u = 2f और u = 3f पर दो अनुप्रस्थ वस्तुओं की तरह कार्य करती हैं।

मुख्य तथ्य

• दर्पण सूत्र: 1/v + 1/u = 1/f; अनुप्रस्थ आवर्धन m = -v/u।
• u = 2f (वक्रता केंद्र) पर वस्तु → प्रतिबिम्ब v = 2f पर, |m| = 1।
• u = 3f पर वस्तु → v = 3f/2, |m| = 1/2।
• प्रतिबिम्ब-आकार अनुपात, आवर्धनों के अनुपात के बराबर होता है: (1/2) / 1 = 1/2।

सामान्य भ्रम

• प्रत्येक आवर्धन की गणना करने के बजाय वस्तु-दूरियों (2f : 3f) का साधारण अनुपात ले लेना।
• यह भूल जाना कि वक्रता-केंद्र (2f) पर वस्तु का प्रतिबिम्ब समान आकार का बनता है (|m| = 1)।

• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  किसी अवतल दर्पण के वक्रता-केंद्र (u = 2f) पर रखी गई वस्तु का प्रतिबिम्ब बनता है, जिसके आवर्धन का परिमाण है :

  • (a)2
  • (b)1
  • (c)1/2
  • (d)0
  उत्तर(b) 1 — प्रतिबिम्ब वस्तु के समान आकार का होता है।
• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  f फोकस दूरी वाले अवतल दर्पण के लिए, u = 3f पर रखी वस्तु का प्रतिबिम्ब किस पर बनता है ?

  • (a)3f
  • (b)2f
  • (c)3f/2
  • (d)f
  उत्तर(c) 3f/2 — 1/v + 1/u = 1/f से।