यदि ‘A’ और ‘B’ की चाल में 5 : 6 का अनुपात है और 1·2 km की एक दौड़ में ‘B’, ‘A’ को 70 मीटर आगे से शुरुआत करने की अनुमति देता है, तो दौड़ में कौन जीतेगा और कितनी दूरी से ?

सही उत्तर — C, (c) ‘B’, 130 m से जीतेगा । पहले प्रश्न की भाषा खोलिए । दौड़ 1·2 km की है, अर्थात् 1200 मीटर की । ‘B’ ने ‘A’ को 70 मीटर आगे से शुरू करने की अनुमति दी है, इसलिए ‘A’ को जीतने के लिए 1200 में से 70 घटाकर केवल 1130 मीटर दौड़ना है, जबकि ‘B’ को पूरे 1200 मीटर । दोनों की चालों का अनुपात 5 : 6 है, अर्थात् जितने समय में ‘A’ पाँच इकाई दूरी तय करता है उतने में ‘B’ छह इकाई । अब सबसे सरल तरीक़ा यह है कि ‘B’ के दौड़ पूरी करने का क्षण पकड़ लिया जाए और उस क्षण देखा जाए कि ‘A’ कहाँ है । ‘B’ 1200 मीटर तय करता है । उसी समय में ‘A’ की दूरी अनुपात से निकलेगी : 1200 का पाँच-छठा भाग, अर्थात् 1000 मीटर । पर ‘A’ शुरुआत ही 70 मीटर आगे से कर रहा था, इसलिए प्रारंभ रेखा से उसकी स्थिति 1000 और 70 जोड़कर 1070 मीटर बैठती है । अंतिम रेखा 1200 मीटर पर है, इसलिए जिस क्षण ‘B’ दौड़ पूरी करता है उस क्षण ‘A’ अभी 130 मीटर पीछे है । अर्थात् ‘B’ जीतता है और जीत का अंतर 130 मीटर है । यही उत्तर है । जाँच के लिए समय से भी देख लीजिए : ‘A’ को 1130 मीटर पाँच की चाल से तय करने में 226 इकाई समय लगेगा और ‘B’ को 1200 मीटर छह की चाल से तय करने में 200 इकाई, अतः ‘B’ पहले पहुँचता है । एक और उपयोगी गणना यह है कि इस दौड़ में बराबरी के लिए कितनी छूट चाहिए थी । यदि ‘A’ को x मीटर की छूट मिले तो बराबरी के लिए 1200 में से x घटाकर पाँच से भाग देने पर वही समय आना चाहिए जो 1200 को छह से भाग देने पर आता है ; इससे 1200 घटा x बराबर 1000 निकलता है, अर्थात् x बराबर 200 मीटर । अतः 200 मीटर से कम की कोई भी छूट ‘B’ की जीत ही रहने देगी, और यहाँ छूट केवल 70 मीटर है ।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (a)‘A’, 30 m से जीतेगा । — यह विकल्प विजेता ही उलट देता है । अनुपात 5 : 6 में ‘A’ की चाल छोटी है और ‘B’ की बड़ी, इसलिए ‘A’ तभी जीत सकता था जब उसे मिली छूट उसकी चाल की कमी से अधिक होती । कितनी छूट चाहिए थी, यह निकाला जा सकता है : बराबरी के लिए ‘A’ को 1000 मीटर ही दौड़ना पड़ता, अर्थात् उसे 200 मीटर की छूट चाहिए थी ; जीतने के लिए इससे भी अधिक । यहाँ छूट केवल 70 मीटर है, जो बराबरी के लिए आवश्यक छूट के आधे से भी कम है, इसलिए ‘A’ के जीतने का प्रश्न ही नहीं उठता । ऐसे प्रश्नों में सबसे पहले यह तय कर लीजिए कि तेज़ कौन है और छूट किसे मिली है ; इन दो बातों से आधे विकल्प तुरंत कट जाते हैं और गणना केवल शेष पर करनी पड़ती है ।
• (b)‘B’, 200 m से जीतेगा । — यह वह उत्तर है जो छूट को पूरी तरह भूल जाने पर आता है । यदि दोनों एक ही रेखा से चलते और दोनों को 1200 मीटर दौड़ना होता, तो ‘B’ के 1200 मीटर पूरे करने तक ‘A’ केवल 1000 मीटर तय कर पाता और अंतर ठीक 200 मीटर होता । यही कारण है कि यह विकल्प सही जैसा लगता है — उसकी गणना ठीक है, बस प्रश्न की एक शर्त छूट गई है । रोचक बात यह भी है कि यही 200 का अंक इस प्रश्न में दूसरी जगह अर्थपूर्ण है : यदि ‘A’ को ठीक 200 मीटर की छूट मिलती तो दौड़ बराबरी पर छूटती । अर्थात् 200 इस दौड़ की वह संख्या है जो बिना छूट के जीत का अंतर भी है और बराबरी के लिए आवश्यक छूट भी । दौड़ के प्रश्नों में छूट का समायोजन सबसे पहले कीजिए, गणना उसके बाद ।
• (d)दौड़ बराबरी पर समाप्त हो जाएगी । — बराबरी तभी होती जब दोनों एक ही क्षण अंतिम रेखा छूते, और उसके लिए इस दौड़ में छूट ठीक 200 मीटर होनी चाहिए थी । इसे सीधे जाँचा जा सकता है : 200 मीटर की छूट पर ‘A’ को 1000 मीटर दौड़ना पड़ता और उसमें उसे 1000 बटा 5 अर्थात् 200 इकाई समय लगता, जबकि ‘B’ को 1200 बटा 6 अर्थात् वही 200 इकाई समय लगता — दोनों बराबर । प्रश्न में छूट 70 मीटर है, इसलिए ‘A’ को 1130 मीटर दौड़ने पड़ते हैं और उसका समय 226 इकाई हो जाता है, जो ‘B’ के 200 इकाई से अधिक है । अतः बराबरी नहीं होगी । ऐसे विकल्प उन प्रश्नों में जानबूझकर रखे जाते हैं जहाँ संख्याएँ पास-पास दिखती हों, ताकि अनुमान से उत्तर देने वाला बराबरी मान बैठे ।

दौड़ से जुड़े प्रश्नों की शब्दावली पहले साफ़ कर लेनी चाहिए, क्योंकि पूरी कठिनाई प्रायः वहीं होती है । जब कहा जाए कि ‘B’ ने ‘A’ को इतने मीटर की शुरुआत या छूट दी, तो इसका अर्थ है कि ‘A’ प्रारंभ रेखा से उतना आगे से दौड़ना आरंभ करता है और उसे उतनी दूरी कम तय करनी पड़ती है । जब कहा जाए कि कोई इतने मीटर से जीता, तो इसका अर्थ है कि विजेता के अंतिम रेखा छूने के क्षण दूसरा धावक अंतिम रेखा से उतनी दूर था । और जब कहा जाए कि कोई इतने सेकंड से जीता, तो अर्थ है कि दोनों के पहुँचने के समय में उतना अंतर था । हल करने की सबसे भरोसेमंद विधि यही है कि विजेता के दौड़ पूरी करने का क्षण पकड़ लिया जाए और उस क्षण दूसरे धावक की स्थिति निकाली जाए, क्योंकि जीत का अंतर उसी क्षण पर परिभाषित होता है । चालों का अनुपात दिया हो तो एक ही समय में तय दूरियों का अनुपात भी वही होगा — यह समान समय की स्थिति में सीधा अनुपात है । और यदि दोनों समान दूरी तय करें तो लगे समय का अनुपात चालों के अनुपात का व्युत्क्रम होगा ।

मुख्य तथ्य

• 1·2 km बराबर 1200 मीटर होता है ; प्रश्न हल करने से पहले सारी दूरियाँ एक ही इकाई में ले आनी चाहिए ।
• 70 मीटर की छूट का अर्थ है कि ‘A’ को 1200 के स्थान पर केवल 1130 मीटर दौड़ना है, जबकि ‘B’ को पूरे 1200 मीटर ।
• समान समय में तय की गई दूरियों का अनुपात चालों के अनुपात के बराबर होता है ; यहाँ वह 5 : 6 है ।
• ‘B’ के 1200 मीटर पूरे करने तक ‘A’ 1000 मीटर दौड़ता है और छूट जोड़कर प्रारंभ रेखा से 1070 मीटर पर होता है ।
• अंतिम रेखा 1200 मीटर पर है, इसलिए उस क्षण ‘A’ 130 मीटर पीछे रहता है — यही जीत का अंतर है ।
• समय से जाँच : ‘A’ को 1130 बटा 5 अर्थात् 226 इकाई और ‘B’ को 1200 बटा 6 अर्थात् 200 इकाई समय लगता है ।
• इस दौड़ में बराबरी के लिए ‘A’ को ठीक 200 मीटर की छूट चाहिए थी ; उससे कम छूट पर ‘B’ ही जीतेगा ।
• बिना किसी छूट के इस दौड़ में ‘B’ की जीत का अंतर 200 मीटर होता, और यही एक ग़लत विकल्प का आधार है ।

सामान्य भ्रम

• छूट का समायोजन भूल जाना । उसे भूलने पर इस प्रश्न में ठीक वही उत्तर आता है जो एक ग़लत विकल्प में रखा गया है ।
• अनुपात की दिशा उलट देना । 5 : 6 में पहला अंक ‘A’ का है, इसलिए तेज़ ‘B’ है ।
• किलोमीटर और मीटर मिलाकर गणना कर बैठना ; पहले सब कुछ एक इकाई में लाइए ।
• जीत का अंतर विजेता की स्थिति से नहीं, हारने वाले की अंतिम रेखा से दूरी से निकलता है — यही परिभाषा है ।
• छूट को समय की छूट समझ लेना । यहाँ छूट दूरी की है, समय की नहीं ।

• practice — not a real PYQ

  ‘P’ और ‘Q’ की चालों का अनुपात 4 : 5 है । 1000 मीटर की दौड़ में ‘P’ को बराबरी पर लाने के लिए उसे कितने मीटर की छूट देनी होगी ?

  • (a)150 मीटर
  • (b)200 मीटर
  • (c)250 मीटर
  • (d)300 मीटर

  उत्तर(b) 200 मीटर — ‘Q’ के 1000 मीटर पूरे करने तक ‘P’ 800 मीटर ही दौड़ पाता है, इसलिए 200 मीटर की छूट से बराबरी होगी ।

• practice — not a real PYQ

  किसी 500 मीटर की दौड़ में ‘X’, ‘Y’ को 100 मीटर से हरा देता है । दोनों की चालों का अनुपात निम्नलिखित में से कौन-सा है ?

  • (a)4 : 5
  • (b)5 : 4
  • (c)5 : 6
  • (d)6 : 5

  उत्तर(b) 5 : 4 — ‘X’ के 500 मीटर पूरे करने तक ‘Y’ 400 मीटर तय करता है, इसलिए अनुपात 500 : 400 अर्थात् 5 : 4 है ।