मान लीजिए x और y ऐसी दो धनात्मक संख्याएँ हैं कि जब x में 2 कम किए जाते हैं और y में 2 की वृद्धि की जाती है, तो इन दोनों का अनुपात 2 : 1 हो जाता है; और जब x में 2 की वृद्धि की जाती है और y में 2 कम किए जाते हैं, तो इन दोनों का अनुपात 3 : 1 हो जाता है । निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या x – y के बराबर है ?

सही उत्तर — A, (a) 20 । अनुपात वाले प्रश्न में पहला काम अनुपात को समीकरण में बदलना है । ‘इन दोनों का अनुपात 2 : 1 हो जाता है’ का अर्थ है कि पहली राशि दूसरी की दुगुनी है । पहली शर्त में x में से 2 घटाए गए हैं और y में 2 जोड़े गए हैं, इसलिए x – 2 = 2(y + 2), अर्थात् x – 2 = 2y + 4, अर्थात् x = 2y + 6 । दूसरी शर्त में x में 2 जोड़े गए हैं और y में से 2 घटाए गए हैं, और अनुपात 3 : 1 है, इसलिए x + 2 = 3(y – 2), अर्थात् x + 2 = 3y – 6, अर्थात् x = 3y – 8 । अब दोनों को बराबर रखिए : 2y + 6 = 3y – 8, जिससे y = 14 । इसे किसी भी एक समीकरण में रखने पर x = 2 × 14 + 6 = 34 । अतः x – y = 34 – 14 = 20, जो विकल्प (a) है । चाहें तो x निकाले बिना भी उत्तर मिल सकता है : दोनों समीकरणों को घटाइए — (x + 2) – (x – 2) = (3y – 6) – (2y + 4), यानी 4 = y – 10, इसलिए y = 14 । यही रास्ता सबसे छोटा है, क्योंकि इसमें x अपने आप कट जाता है । अंत में उत्तर को मूल शर्तों पर जाँच लीजिए, क्योंकि इस प्रश्न में सारी ग़लतियाँ जाँच से पकड़ी जाती हैं : x = 34 और y = 14 रखने पर पहली शर्त देती है (34 – 2) : (14 + 2) = 32 : 16 = 2 : 1, और दूसरी शर्त देती है (34 + 2) : (14 – 2) = 36 : 12 = 3 : 1 । दोनों शर्तें ठीक बैठती हैं, इसलिए x – y = 20 ही उत्तर है । एक और बात, जो इस ढाँचे के हर प्रश्न में काम आती है : शर्तें लिखते समय अनुपात के दाहिने पद 1 को नज़रअंदाज़ मत कीजिए । ‘2 : 1’ का अर्थ है कि पहली राशि दूसरी की दुगुनी है, और यदि दूसरा पद 1 न होकर, मान लीजिए, 3 होता, तो समीकरण 3(x – 2) = 2(y + 2) बनता । यहाँ दोनों शर्तों में दूसरा पद 1 है, इसलिए दोनों समीकरण सीधे गुणा के रूप में लिखे जा सके, और यही इस प्रश्न को तीस सेकंड का प्रश्न बनाता है ।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (b)24 — 24 वहाँ से आता है जहाँ अभ्यर्थी घटाव मूल संख्याओं के बजाय बदली हुई संख्याओं पर कर देता है । दूसरी शर्त में जो दो राशियाँ आमने-सामने हैं वे x + 2 = 36 और y – 2 = 12 हैं, और उनका अंतर 36 – 12 = 24 है । पर यह x – y नहीं है ; यह (x – y) + 4 है, क्योंकि एक ओर 2 जोड़ा गया और दूसरी ओर 2 घटाया गया, जिससे अंतर चार बढ़ गया । प्रश्न मूल संख्याओं का अंतर पूछता है, बदली हुई संख्याओं का नहीं । बचाव का तरीक़ा यही है कि हल के अंत में x और y के मान अलग-अलग लिखकर तब अंतर निकाला जाए — 34 और 14 — क्योंकि जो राशि काग़ज़ पर आख़िर में दिखती है वही उठा लेने की प्रवृत्ति सबसे आम भूल है । ध्यान दीजिए कि यही भूल पहली शर्त पर करने से 32 – 16 = 16 मिलता, जो विकल्पों में है ही नहीं — इसीलिए परीक्षक ने दूसरी शर्त वाला मान चुना ।
• (c)18 — 18 उस स्थिति में मिलता है जब पहली शर्त वाली बदली हुई राशि को ही x मान लिया जाए । पहली शर्त से x – 2 = 2(y + 2) = 32 निकलता है, और यहीं अभ्यर्थी 32 को x समझ लेता है । फिर y = 14 के साथ 32 – 14 = 18 आ जाता है । वास्तव में 32 का अर्थ है x – 2, इसलिए x = 34 है और अंतर 20 । यह भूल इसलिए फिसलती है कि 32 एक साफ़-सुथरी संख्या है और 16 के साथ 2 : 1 का अनुपात भी ठीक बैठता है, इसलिए अभ्यर्थी को लगता है कि उसने जाँच भी कर ली । जाँच सदा मूल चरों पर कीजिए, बीच के पदों पर नहीं । एक सरल नियम याद रखिए : हल के अंत में x और y के मान अलग-अलग पंक्ति में लिखिए, और उसके बाद ही प्रश्न की माँग पर लौटिए ।
• (d)22 — 22 उसी भूल का दूसरा रूप है, इस बार दूसरी शर्त पर । दूसरी शर्त से x + 2 = 3(y – 2) = 36 निकलता है, और यदि 36 को ही x मान लिया जाए तो y = 14 के साथ 36 – 14 = 22 हाथ लगता है । पर 36 का अर्थ है x + 2, इसलिए x = 34 है । ध्यान दीजिए कि 18 और 22 दोनों सही उत्तर 20 के दोनों ओर ठीक दो की दूरी पर रखे गए हैं — यह संयोग नहीं है, क्योंकि दोनों भूलें x में से 2 घटाने या 2 जोड़ने से ही पैदा होती हैं । विकल्पों की यह सममिति स्वयं संकेत देती है कि बीच वाला मान ही मूल संख्याओं का अंतर होगा । यही कारण है कि इस प्रश्न में अनुमान लगाना निरर्थक है — तीनों निकटवर्ती मान एक-एक वास्तविक भूल के परिणाम हैं ।

अनुपात को समीकरण में बदलने का नियम सीधा है : a : b = m : n का अर्थ है a × n = b × m । जब अनुपात का दूसरा पद 1 हो, जैसे 2 : 1 और 3 : 1, तो बात और सरल हो जाती है — पहली राशि दूसरी की दो गुनी, फिर तीन गुनी है । इस प्रश्न में दो शर्तें दो रैखिक समीकरण देती हैं और दो अज्ञात राशियाँ x तथा y हैं, इसलिए हल अद्वितीय है । दो रैखिक समीकरणों को हल करने के तीन मानक तरीक़े हैं : प्रतिस्थापन, विलोपन और तुलना । यहाँ तुलना सबसे सुविधाजनक है, क्योंकि दोनों समीकरणों को x = के रूप में लिखा जा सकता है और फिर दाहिने पक्ष बराबर रख दिए जाते हैं । विलोपन भी उतना ही तेज़ है — दोनों समीकरणों को घटाने पर x अपने आप कट जाता है और केवल y बचता है । सबसे महत्त्वपूर्ण बात अंत में : प्रश्न किस राशि का मान माँग रहा है, यह हल शुरू करने से पहले रेखांकित कर लीजिए । यहाँ x या y नहीं, उनका अंतर पूछा गया है, और अंतर बदली हुई संख्याओं का नहीं, मूल संख्याओं का । और अंत में एक अभ्यास की बात : ऐसे प्रश्नों में चर चुनते ही दोनों शर्तें अलग-अलग पंक्तियों में लिखिए, एक ही पंक्ति में नहीं, क्योंकि दो शर्तों को एक पंक्ति में समेटने पर ही चिह्न उलटते हैं ।

मुख्य तथ्य

• a : b = m : n को समीकरण में इस प्रकार बदला जाता है कि a × n = b × m ; जब दूसरा पद 1 हो तो पहली राशि दूसरी की उतनी गुनी हो जाती है जितना पहला पद है ।
• पहली शर्त से x – 2 = 2(y + 2) मिलता है, जिसे सरल करने पर x = 2y + 6 आता है ; दूसरी शर्त से x + 2 = 3(y – 2), अर्थात् x = 3y – 8 ।
• दोनों समीकरणों की तुलना करने पर 2y + 6 = 3y – 8 मिलता है, जिससे y = 14 और फिर x = 34 निकलता है ; अतः x – y = 20 ।
• दोनों समीकरणों को घटा देने पर x अपने आप कट जाता है और 4 = y – 10 बचता है — यही सबसे छोटा रास्ता है और इसमें x निकालने की आवश्यकता ही नहीं पड़ती ।
• उत्तर की जाँच मूल शर्तों पर होनी चाहिए : (34 – 2) : (14 + 2) = 32 : 16 = 2 : 1 और (34 + 2) : (14 – 2) = 36 : 12 = 3 : 1 — दोनों ठीक बैठती हैं ।

सामान्य भ्रम

• कौन-सी राशि बढ़ाई गई और कौन-सी घटाई गई, यह उलट देना । दोनों शर्तों में x और y पर विपरीत संक्रियाएँ लगी हैं, इसलिए समीकरण लिखने से पहले उन्हें शब्दों में दोहराइए ।
• बीच के पद को ही उत्तर मान लेना । 32 का अर्थ x – 2 है और 36 का अर्थ x + 2 ; दोनों में से किसी को x मान लेने पर 18 या 22 मिलता है ।
• बदली हुई संख्याओं का अंतर निकाल लेना । 36 – 12 = 24 वस्तुतः (x – y) + 4 है, क्योंकि एक ओर 2 जोड़ा गया और दूसरी ओर 2 घटाया गया ।

इस प्रश्न से सीधे संबंधित कोई पूर्व PYQ उपलब्ध नहीं।

• practice — not a real PYQ

  दो संख्याएँ x और y ऐसी हैं कि x में 3 जोड़ने और y में से 3 घटाने पर उनका अनुपात 3 : 1 हो जाता है, तथा x में से 3 घटाने और y में 3 जोड़ने पर अनुपात 1 : 1 हो जाता है । x + y का मान क्या है ?

  • (a)20
  • (b)22
  • (c)24
  • (d)26

  उत्तर(c) 24 — पहली शर्त से x + 3 = 3(y – 3) यानी x = 3y – 12, दूसरी से x – 3 = y + 3 यानी x = y + 6 ; दोनों की तुलना से y = 9 और x = 15, अतः x + y = 24 ।

• practice — not a real PYQ

  किसी भिन्न के अंश तथा हर दोनों में 1 जोड़ने पर वह 4/5 हो जाती है और दोनों में से 1 घटाने पर वह 3/4 हो जाती है । मूल भिन्न निम्नलिखित में से कौन-सी है ?

  • (a)5/7
  • (b)6/8
  • (c)7/9
  • (d)8/11

  उत्तर(c) 7/9 — पहली शर्त से 5(अंश) = 4(हर) – 1 और दूसरी से 4(अंश) = 3(हर) + 1 ; दोनों को हल करने पर हर 9 और अंश 7 मिलता है, और जाँच में 8/10 = 4/5 तथा 6/8 = 3/4 ठीक बैठते हैं ।