एक कक्षा में 100 छात्रों का औसत वज़न 46 kg है । लड़कों और लड़कियों के औसत वज़न क्रमश: 50 kg और 40 kg हैं । लड़कों और लड़कियों की संख्या के बीच में कितना अंतर है ?

सही उत्तर — C, (c) 20 । पहले सीधा बीजगणित देखिए, फिर उसका छोटा रास्ता । कक्षा में सौ छात्र हैं और उनका औसत वज़न 46 kg है, इसलिए सबका कुल वज़न 100 गुणा 46, अर्थात् 4600 kg हुआ । मान लीजिए लड़के b हैं ; तब लड़कियाँ 100 घटा b होंगी । लड़कों का औसत वज़न 50 kg है और लड़कियों का 40 kg, इसलिए कुल वज़न लिखा जा सकता है 50b जोड़ 40 गुणा कोष्ठक 100 घटा b । इसे 4600 के बराबर रखिए : 50b जोड़ 4000 घटा 40b बराबर 4600, अर्थात् 10b बराबर 600, इसलिए b बराबर 60 । तब लड़कियाँ 40 हुईं और दोनों की संख्या का अंतर 60 घटा 40, अर्थात् 20 । अब वही उत्तर मिश्रण के नियम से निकालिए, जो परीक्षा में कहीं तेज़ है । कुल औसत 46 दोनों औसतों के बीच है । लड़कों के औसत से उसकी दूरी 50 घटा 46 बराबर 4 है और लड़कियों के औसत से 46 घटा 40 बराबर 6 । मिश्रण के नियम के अनुसार दोनों समूहों की संख्याओं का अनुपात इन दूरियों के उलटे क्रम में होता है, अर्थात् लड़के : लड़कियाँ बराबर 6 : 4, जो 3 : 2 है । सौ छात्रों को 3 : 2 में बाँटिए तो 60 और 40 मिलते हैं, और अंतर वही 20 । दो रास्तों से एक ही उत्तर आना स्वयं एक जाँच है । अंत में एक बात, जिस पर यह प्रश्न वास्तव में टिका है : प्रश्न ने लड़कों की संख्या नहीं पूछी, दोनों की संख्या का अंतर पूछा है । हल के बीच में 60 और 40 दोनों निकलते हैं और उन्हीं में से किसी एक पर रुक जाना सबसे आसान चूक है । पढ़ने के अंत में यह वाक्य दोहरा लीजिए कि पूछा क्या गया है । एक अंतिम जाँच भी कर लीजिए, क्योंकि वह सस्ती है और उत्तर को पक्का कर देती है । यदि लड़के 60 और लड़कियाँ 40 हों, तो कुल वज़न 60 गुणा 50 जोड़ 40 गुणा 40, अर्थात् 3000 जोड़ 1600 बराबर 4600 kg होता है, और सौ छात्रों का औसत ठीक 46 kg निकलता है — वही जो प्रश्न कहता है । दोनों शर्तें मिल गईं, इसलिए संख्याएँ सही हैं और उनका अंतर बीस ही है ।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (a)30 — तीस का अंक इस प्रश्न की किसी भी सही गणना से नहीं निकलता, और उसे जाँचना भी आसान है । यदि लड़कों और लड़कियों की संख्या का अंतर तीस होता, तो सौ छात्रों में लड़के 65 और लड़कियाँ 35 होतीं । तब कुल वज़न 65 गुणा 50 जोड़ 35 गुणा 40, अर्थात् 3250 जोड़ 1400 बराबर 4650 kg होता, और औसत 46·5 kg निकलता — जबकि प्रश्न 46 kg कहता है । इसी तरह हर विकल्प को वापस रखकर जाँचा जा सकता है, और इस प्रकार के प्रश्नों में यह जाँच बहुत सस्ती है, क्योंकि उसमें केवल दो गुणा और एक जोड़ लगता है । ध्यान रखिए कि विकल्प यहाँ घटते क्रम में छपे हैं, इसलिए सबसे ऊपर वाला विकल्प सबसे बड़ा है, सबसे छोटा नहीं ।
• (b)25 — पच्चीस का अंक भी किसी सही गणना से नहीं निकलता, और इस दशा में तो वह असंभव भी है । यदि अंतर पच्चीस होता, तो सौ छात्रों में लड़के 62·5 और लड़कियाँ 37·5 होतीं — अर्थात् छात्रों की संख्या भिन्न में आती, जो हो नहीं सकती । यहाँ एक सामान्य नियम काम आता है : जब कुल संख्या सम हो, तब दोनों समूहों की संख्याओं का अंतर भी सम ही होगा, क्योंकि योग और अंतर की सम-विषम प्रकृति एक जैसी होती है । सौ सम है, इसलिए अंतर विषम नहीं हो सकता । इस एक जाँच से पच्चीस वाला विकल्प बिना कोई गणना किए हट जाता है, और परीक्षा में ऐसी जाँचें समय बचाने का सबसे भरोसेमंद तरीक़ा हैं ।
• (d)10 — यही चारों में सबसे कठिन विकल्प है, क्योंकि दस इस प्रश्न में सचमुच एक अर्थपूर्ण संख्या है — वह लड़कों और लड़कियों के औसत वज़न का अंतर है, 50 घटा 40 । प्रश्न ने वह नहीं पूछा ; उसने संख्याओं का अंतर पूछा है, वज़न का नहीं । अर्थात् यहाँ जाल इकाई का है : एक उत्तर किलोग्राम में है और दूसरा छात्रों की गिनती में । यह चूक इसलिए भी आसान है कि दस का अंक प्रश्न पढ़ते ही मन में बन जाता है और आगे की गणना करने की आवश्यकता नहीं जान पड़ती । बचाव का तरीक़ा वही है — प्रश्न का अंतिम वाक्य दोबारा पढ़िए और यह तय कीजिए कि उत्तर किस इकाई में आना चाहिए । यहाँ उत्तर संख्या में आना चाहिए, इसलिए विकल्पों में किसी भी इकाई का उल्लेख नहीं है ।

जब किसी समूह को दो उपसमूहों में बाँटा गया हो और तीनों के औसत ज्ञात हों, तब दो विधियाँ काम आती हैं और दोनों जान लेना उपयोगी है । पहली सीधी बीजगणितीय विधि है : कुल औसत को कुल संख्या से गुणा करके कुल योग निकालिए, फिर एक उपसमूह की संख्या को चर मानकर समीकरण बनाइए । दूसरी मिश्रण अथवा सम्मिश्रण की विधि है, जिसे परीक्षा में मौखिक रूप से भी लगाया जा सकता है । उसका नियम यह है कि दो उपसमूहों की संख्याओं का अनुपात कुल औसत से उनकी दूरियों के उलटे क्रम में होता है । इस प्रश्न में लड़कों का औसत 50 kg, लड़कियों का 40 kg और कुल औसत 46 kg है ; कुल औसत की दूरी लड़कों के औसत से 4 और लड़कियों के औसत से 6 है, इसलिए लड़के और लड़कियाँ 6 : 4, अर्थात् 3 : 2 के अनुपात में हैं । सौ को इस अनुपात में बाँटने पर 60 और 40 मिलते हैं । मिश्रण की यह विधि केवल औसत भार तक सीमित नहीं ; वही नियम मूल्य के मिश्रण, दो प्रकार के मिश्रण से एक निश्चित सांद्रता बनाने, और दो समूहों के औसत अंक जोड़ने वाले प्रश्नों में भी लगता है । एक बात ध्यान रखिए : यह नियम केवल तब लगता है जब कुल औसत दोनों उपसमूहों के औसतों के बीच में हो । यदि कुल औसत उनसे बाहर पड़े तो कहीं कोई आँकड़ा ग़लत है, और यह भी एक अच्छी जाँच है ।

मुख्य तथ्य

• कक्षा के सौ छात्रों का औसत वज़न 46 kg है, इसलिए उन सबका कुल वज़न 100 गुणा 46 बराबर 4600 kg होता है — औसत को संख्या से गुणा करके योग बनाइए ।
• लड़कों का औसत 50 kg और लड़कियों का 40 kg होने पर समीकरण बनता है 50b जोड़ 40 गुणा कोष्ठक 100 घटा b बराबर 4600, जिससे b बराबर 60 निकलता है ।
• इसलिए लड़के 60 और लड़कियाँ 40 हैं, और दोनों की संख्या का अंतर 60 घटा 40 बराबर 20 है — यही प्रश्न का उत्तर है और वही कुंजी भी छापती है ।
• मिश्रण के नियम से भी वही उत्तर आता है : कुल औसत की दूरी लड़कों के औसत से 4 और लड़कियों के औसत से 6 है, इसलिए अनुपात 6 : 4 अर्थात् 3 : 2 ।
• मिश्रण का नियम केवल तब लगता है जब कुल औसत दोनों उपसमूहों के औसतों के बीच में पड़ता हो ; बाहर पड़ने पर कोई आँकड़ा ग़लत है ।
• पचास और चालीस का अंतर दस किलोग्राम है — वह औसत वज़न का अंतर है, संख्याओं का नहीं, और प्रश्न संख्याओं का अंतर पूछता है ।
• जब कुल संख्या सम हो तब दोनों उपसमूहों की संख्याओं का अंतर भी सम होगा, इसलिए विषम अंतर वाला विकल्प बिना गणना के हट जाता है ।
• जाँच का तरीक़ा : किसी विकल्प को मानकर दोनों संख्याएँ निकालिए और उनसे कुल वज़न बनाकर देखिए कि औसत 46 kg आता है या नहीं ।
• इस प्रश्न में इकाइयाँ रोमन लिपि में छपी हैं और विकल्प घटते क्रम में — 30, 25, 20, 10 ; दोनों आयोग की अपनी सजावट हैं ।

सामान्य भ्रम

• औसत वज़न के अंतर को संख्याओं का अंतर मान लेना । पचास घटा चालीस बराबर दस किलोग्राम है, छात्रों की गिनती नहीं ।
• लड़कों की संख्या निकालकर वहीं रुक जाना । प्रश्न दोनों की संख्या का अंतर पूछता है, किसी एक की संख्या नहीं ।
• मिश्रण के नियम में अनुपात सीधा लगा देना । संख्याओं का अनुपात दूरियों के उलटे क्रम में होता है ।
• विकल्पों को बढ़ते क्रम में मान लेना । इस प्रश्न में वे घटते क्रम में छपे हैं — तीस, पच्चीस, बीस, दस ।
• सम-विषम की जाँच छोड़ देना । कुल संख्या सम होने पर अंतर भी सम ही होगा, और यह एक विकल्प तुरंत हटा देता है ।

• practice — not a real PYQ

  किसी कक्षा के 50 विद्यार्थियों का औसत प्राप्तांक 62 है । लड़कों का औसत प्राप्तांक 65 और लड़कियों का 50 है । कक्षा में लड़कियों की संख्या कितनी है ?

  • (a)10
  • (b)15
  • (c)20
  • (d)25

  उत्तर(a) 10 — दूरियाँ 3 और 12 हैं, इसलिए लड़के : लड़कियाँ बराबर 12 : 3 अर्थात् 4 : 1, और पचास में लड़के 40 तथा लड़कियाँ 10 ।

• practice — not a real PYQ

  दो प्रकार की चाय, जिनका मूल्य क्रमश: 180 रुपये और 240 रुपये प्रति किलोग्राम है, किस अनुपात में मिलाई जाएँ कि मिश्रण का मूल्य 200 रुपये प्रति किलोग्राम हो जाए ?

  • (a)1 : 2
  • (b)2 : 1
  • (c)3 : 2
  • (d)2 : 3

  उत्तर(b) 2 : 1 — सस्ती चाय की दूरी 20 और महँगी की 40 है, इसलिए मात्राओं का अनुपात उलटे क्रम में 40 : 20, अर्थात् सस्ती : महँगी बराबर 2 : 1 ; जाँच : दो गुणा 180 जोड़ एक गुणा 240 बटा तीन बराबर 200 ।