एक कक्षा में 40% विद्यार्थी भारतीय हैं और 50% लड़कियाँ हैं । यदि भारतीय विद्यार्थियों का 25% लड़कियाँ हैं, तो ग़ैर-भारतीय विद्यार्थियों का कितना प्रतिशत लड़के हैं ?

सही उत्तर — A, (a) 33·33% । सबसे आसान रास्ता कक्षा में सौ विद्यार्थी मान लेने का है, क्योंकि सारे आँकड़े प्रतिशत में हैं । तब भारतीय विद्यार्थी 40 हुए और ग़ैर-भारतीय 60 । लड़कियाँ कुल 50 हुईं, इसलिए लड़के भी 50 । अब तीसरी सूचना लगाइए : भारतीय विद्यार्थियों का 25 प्रतिशत लड़कियाँ हैं, अर्थात् 40 का 25 प्रतिशत, जो 10 होता है । इसलिए भारतीय लड़कियाँ 10 और भारतीय लड़के 30 । कुल लड़कियाँ 50 हैं, इसलिए ग़ैर-भारतीय लड़कियाँ 50 घटा 10, अर्थात् 40 । और ग़ैर-भारतीय विद्यार्थी कुल 60 हैं, इसलिए ग़ैर-भारतीय लड़के 60 घटा 40, अर्थात् 20 । अब वह चरण आता है जिस पर पूरा प्रश्न टिका है । बीस वह संख्या है जो पूरी कक्षा में ग़ैर-भारतीय लड़कों की है ; पर प्रश्न ने यह नहीं पूछा कि कक्षा का कितना प्रतिशत ग़ैर-भारतीय लड़के हैं । उसने पूछा है कि ग़ैर-भारतीय विद्यार्थियों का कितना प्रतिशत लड़के हैं । अर्थात् आधार पूरी कक्षा नहीं, केवल ग़ैर-भारतीय समूह है । इसलिए हिसाब बनेगा 20 बटा 60 गुणा 100, जो 33·33 प्रतिशत है । यही उत्तर है, और यही इस प्रश्न की एकमात्र वास्तविक कठिनाई । ऐसे प्रश्नों में दो-दो पंक्ति और स्तंभ वाली एक छोटी सारणी बना लेना सबसे सुरक्षित है — पंक्तियों में भारतीय और ग़ैर-भारतीय, स्तंभों में लड़के और लड़कियाँ, और चारों कोष्ठकों के साथ पंक्ति तथा स्तंभ के योग । यहाँ वह सारणी इस प्रकार भरती है : भारतीय लड़के 30, भारतीय लड़कियाँ 10, ग़ैर-भारतीय लड़के 20, ग़ैर-भारतीय लड़कियाँ 40 ; पंक्तियों के योग 40 और 60, स्तंभों के योग 50 और 50, और कुल 100 । सारणी भर जाने के बाद केवल यह तय करना बचता है कि प्रतिशत किस योग पर लेना है, और वही प्रश्न का असली प्रश्न है ।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (b)40% — चालीस का अंक इस प्रश्न में सचमुच दो बार आता है, और यही इस विकल्प को आकर्षक बनाता है । पहला, भारतीय विद्यार्थी पूरी कक्षा के चालीस प्रतिशत हैं — यह प्रश्न में दिया हुआ आँकड़ा है । दूसरा, ग़ैर-भारतीय लड़कियाँ भी सौ विद्यार्थियों में चालीस निकलती हैं । दोनों सही संख्याएँ हैं, पर दोनों में से कोई भी पूछा गया उत्तर नहीं है । प्रश्न ग़ैर-भारतीय समूह में लड़कों का प्रतिशत माँगता है, और वह उसी समूह की लड़कियों का प्रतिशत नहीं हो सकता — दोनों मिलकर सौ बनते हैं, इसलिए यदि ग़ैर-भारतीय लड़कियाँ उस समूह का लगभग 66·67 प्रतिशत हैं, तो लड़के 33·33 प्रतिशत ही होंगे । यही उलटी जाँच इस विकल्प को तुरंत हटा देती है ।
• (c)25% — पच्चीस प्रतिशत वह आँकड़ा है जो प्रश्न ने स्वयं दिया है — भारतीय विद्यार्थियों का पच्चीस प्रतिशत लड़कियाँ हैं । दिए हुए आँकड़े को उत्तर बना देना संख्यात्मक अभियोग्यता की सबसे पुरानी चूक है, और वह प्राय: तब होती है जब अभ्यर्थी के पास समय कम हो और वह विकल्पों में कोई परिचित अंक ढूँढ़ ले । ध्यान दीजिए कि यह पच्चीस प्रतिशत भारतीय समूह पर लिया गया है, ग़ैर-भारतीय समूह पर नहीं, और वह लड़कियों का है, लड़कों का नहीं । अर्थात् इस विकल्प में समूह और लिंग दोनों बदले हुए हैं । ऐसे प्रश्नों में हर प्रतिशत के साथ यह लिख लेना चाहिए कि वह किस समूह पर लिया गया है ; यही आदत इस विकल्प को अपने आप बाहर कर देती है ।
• (d)20% — यही चारों में सबसे कठिन विकल्प है, क्योंकि इसकी संख्या ठीक है और केवल आधार ग़लत है । ग़ैर-भारतीय लड़के सचमुच बीस निकलते हैं — पर वे सौ विद्यार्थियों वाली पूरी कक्षा में बीस हैं, अर्थात् कक्षा का बीस प्रतिशत । प्रश्न ने कक्षा का प्रतिशत नहीं पूछा ; उसने पूछा है कि ग़ैर-भारतीय विद्यार्थियों का कितना प्रतिशत लड़के हैं, और ग़ैर-भारतीय विद्यार्थी साठ हैं । इसलिए हिसाब 20 बटा 60 गुणा 100 बनता है, जो 33·33 प्रतिशत है, न कि बीस । प्रतिशत के प्रश्नों में यही सबसे बड़ा जाल है — सही संख्या निकाल लेने के बाद उसे ग़लत आधार पर बाँट देना । इसलिए उत्तर लिखने से पहले एक बार यह वाक्य दोहराइए कि प्रतिशत किसका किसमें पूछा गया है ।

जब किसी समूह को दो अलग-अलग कसौटियों पर बाँटा जाए — जैसे यहाँ राष्ट्रीयता और लिंग — तो सबसे साफ़ तरीक़ा दो पंक्तियों और दो स्तंभों वाली सारणी बनाना है, जिसके किनारों पर योग लिखे जाएँ । ऐसी सारणी में कुल चार भीतरी कोष्ठक, दो पंक्ति-योग, दो स्तंभ-योग और एक कुल योग होता है । उनमें से केवल तीन स्वतंत्र सूचनाएँ चाहिए, शेष सब घटाव से भर जाते हैं । इस प्रश्न में दी गई तीन सूचनाएँ हैं — भारतीय चालीस प्रतिशत, लड़कियाँ पचास प्रतिशत, और भारतीय विद्यार्थियों में लड़कियाँ पच्चीस प्रतिशत । सौ विद्यार्थी मान लेने पर सारणी इस प्रकार भरती है : भारतीय लड़कियाँ 10, भारतीय लड़के 30, ग़ैर-भारतीय लड़कियाँ 40, ग़ैर-भारतीय लड़के 20 ; पंक्ति-योग 40 और 60, स्तंभ-योग 50 और 50, कुल 100 । सारणी भर जाने के बाद उत्तर केवल इस बात पर निर्भर करता है कि प्रतिशत किस योग को आधार मानकर लिया जाए । यही प्रतिशत की मूल संकल्पना है : हर प्रतिशत किसी न किसी आधार पर लिया जाता है, और आधार बदलते ही वही संख्या दूसरा प्रतिशत बन जाती है । बीस विद्यार्थी पूरी कक्षा का बीस प्रतिशत हैं, ग़ैर-भारतीय समूह का 33·33 प्रतिशत, और लड़कों के समूह का चालीस प्रतिशत — तीनों कथन एक साथ सही हैं, क्योंकि तीनों के आधार अलग हैं । इसलिए प्रतिशत के प्रश्न पढ़ते समय आधार को रेखांकित करने की आदत डालिए ।

मुख्य तथ्य

• प्रतिशत सदा किसी आधार पर लिया जाता है ; आधार बदलते ही वही संख्या दूसरा प्रतिशत बन जाती है, और यही इस प्रश्न का पूरा विषय है ।
• सौ विद्यार्थी मान लेने पर भारतीय 40 और ग़ैर-भारतीय 60 होते हैं, तथा लड़कियाँ 50 और लड़के भी 50 — हर प्रतिशत सीधे एक संख्या बन जाता है ।
• भारतीय विद्यार्थियों का पच्चीस प्रतिशत लड़कियाँ हैं, अर्थात् 40 का 25 प्रतिशत बराबर 10 भारतीय लड़कियाँ, और शेष 30 भारतीय लड़के ।
• कुल लड़कियाँ 50 हैं, इसलिए ग़ैर-भारतीय लड़कियाँ 50 घटा 10 बराबर 40, और ग़ैर-भारतीय लड़के 60 घटा 40 बराबर 20 ।
• प्रश्न ग़ैर-भारतीय समूह में लड़कों का प्रतिशत माँगता है, इसलिए आधार साठ है — 20 बटा 60 गुणा 100 बराबर 33·33 प्रतिशत, न कि बीस प्रतिशत ।
• यही बीस विद्यार्थी पूरी कक्षा का बीस प्रतिशत भी हैं और लड़कों के समूह का चालीस प्रतिशत भी ; तीनों कथन एक साथ सही हैं क्योंकि आधार अलग हैं ।
• दो कसौटियों पर बँटे समूह की समस्याएँ दो पंक्तियों और दो स्तंभों वाली सारणी से हल होती हैं, जिसमें केवल तीन स्वतंत्र सूचनाएँ चाहिए ।
• उस सारणी में चार भीतरी कोष्ठक, दो पंक्ति-योग, दो स्तंभ-योग और एक कुल योग होता है ; शेष सब घटाव से भर जाते हैं ।
• इस प्रश्न के विकल्प बढ़ते क्रम में नहीं छपे — क्रम 33·33, 40, 25, 20 है, और दशमलव उभरे मध्य-बिंदु के रूप में छपा है ।

सामान्य भ्रम

• सही संख्या निकालकर उसे ग़लत आधार पर बाँट देना । बीस ग़ैर-भारतीय लड़के हैं, पर वे कक्षा का बीस प्रतिशत हैं, ग़ैर-भारतीय समूह का नहीं ।
• प्रश्न में दिए हुए आँकड़े को ही उत्तर बना देना । पच्चीस प्रतिशत भारतीय समूह में लड़कियों का है, ग़ैर-भारतीय समूह में लड़कों का नहीं ।
• एक ही समूह में लड़कों और लड़कियों के प्रतिशत को गड्डमड्ड कर देना । दोनों मिलकर सौ बनते हैं, इसलिए एक से दूसरा जाँचा जा सकता है ।
• सारणी बनाए बिना सीधे गणना में उतर जाना । दो कसौटियों वाली समस्या में सारणी बनाने में आधा मिनट लगता है और वह लगभग हमेशा वसूल हो जाता है ।
• विकल्पों को क्रम में मान लेना । इस प्रश्न में वे न बढ़ते क्रम में हैं और न घटते, और यह आयोग की अपनी सजावट है ।

• practice — not a real PYQ

  किसी कक्षा में 60 प्रतिशत विद्यार्थी लड़के हैं और 30 प्रतिशत विद्यार्थी छात्रावास में रहते हैं । यदि लड़कों का 25 प्रतिशत छात्रावास में रहता है, तो लड़कियों का कितना प्रतिशत छात्रावास में रहता है ?

  • (a)15%
  • (b)25%
  • (c)37·5%
  • (d)40%

  उत्तर(c) 37·5% — सौ विद्यार्थी मानिए : लड़के 60, छात्रावासी 30, छात्रावासी लड़के 15, इसलिए छात्रावासी लड़कियाँ 15 और लड़कियाँ कुल 40 ; 15 बटा 40 गुणा 100 बराबर 37·5 प्रतिशत ।

• practice — not a real PYQ

  किसी कार्यालय में 40 प्रतिशत कर्मचारी स्नातकोत्तर हैं और 70 प्रतिशत कर्मचारी पुरुष हैं । यदि स्नातकोत्तर कर्मचारियों का 50 प्रतिशत पुरुष हैं, तो स्त्री कर्मचारियों का कितना प्रतिशत स्नातकोत्तर है ?

  • (a)20%
  • (b)33·33%
  • (c)50%
  • (d)66·67%

  उत्तर(d) 66·67% — सौ कर्मचारी मानिए : स्नातकोत्तर 40, उनमें पुरुष 20 और स्त्रियाँ 20 ; कुल स्त्रियाँ 30, इसलिए 20 बटा 30 गुणा 100 बराबर 66·67 प्रतिशत ।