सबसे छोटे उस वृत्त का क्षेत्रफल क्या होगा, जिसके अंदर 4 cm² क्षेत्रफल का एक वर्ग समाहित है?

सही उत्तर — B, (b) 2π cm²। निर्णायक चरण यह पहचानना है कि वर्ग को अपने भीतर समाने वाला सबसे छोटा वृत्त वही है जो वर्ग के चारों शीर्षों से होकर गुज़रता है, और ऐसे वृत्त का व्यास वर्ग के विकर्ण के बराबर होता है — भुजा के नहीं।

यह बात सिद्ध भी की जा सकती है, और परीक्षा में यही समझ बचाती है। जो वृत्त वर्ग को पूरा समाए, उसे वर्ग के चारों शीर्ष समाने ही होंगे। दो सम्मुख शीर्षों के बीच की दूरी विकर्ण है, और किसी वृत्त के भीतर दो बिंदुओं की अधिकतम संभव दूरी उसका व्यास ही होती है। अतः वृत्त का व्यास विकर्ण से कम नहीं हो सकता। जिस वृत्त का व्यास ठीक विकर्ण के बराबर है वह चारों शीर्षों से होकर जाता है और वर्ग को पूरा समा लेता है, इसलिए वही सबसे छोटा है।

अब संख्याएँ रखिए।

वर्ग का क्षेत्रफल 4 cm² है, इसलिए भुजा = √4 = 2 cm।

विकर्ण = भुजा × √2 = 2√2 cm।

वृत्त का व्यास = विकर्ण = 2√2 cm, इसलिए त्रिज्या = √2 cm।

वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = π × (√2)² = 2π cm², अर्थात विकल्प (b)।

एक सामान्य परिणाम भी याद रख लीजिए, क्योंकि वह ऐसे हर प्रश्न को एक पंक्ति में हल कर देता है। यदि वर्ग का क्षेत्रफल A हो, तो उसे घेरने वाले सबसे छोटे वृत्त का क्षेत्रफल πA/2 होता है और वर्ग के भीतर बैठने वाले सबसे बड़े वृत्त का क्षेत्रफल πA/4। यहाँ A = 4 है, इसलिए पहला 2π और दूसरा π बनता है — और प्रश्नपत्र ने दोनों को विकल्पों में रखा है, इसलिए यह तय करना कि वृत्त बाहर है या भीतर, इस प्रश्न का असली काम है। ध्यान रहे कि (√2)² = 2 होता है; इसी सरल पद पर जल्दबाज़ी में अंक जाते हैं।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (a)π cm² — π cm² इस प्रश्न का सबसे भ्रामक विकल्प है, क्योंकि वह किसी और वृत्त का सही क्षेत्रफल है — वह वृत्त जो वर्ग के भीतर बैठता है, यानी अंत:वृत्त। उसका व्यास वर्ग की भुजा के बराबर होता है, इसलिए यहाँ व्यास 2 cm और त्रिज्या 1 cm हुई, और क्षेत्रफल π × 1² = π cm²। पर प्रश्न उलटा पूछ रहा है: वृत्त बाहर है और वर्ग भीतर, इसलिए वर्ग को वृत्त के भीतर समाना है, वृत्त को वर्ग के भीतर नहीं। यह भूल तब होती है जब भुजा को सीधे व्यास मान लिया जाता है। बचने का उपाय यह है कि हल आरंभ करने से पहले एक पंक्ति में लिख लीजिए कि किसके भीतर क्या है, और उसी से तय कीजिए कि विकर्ण काम आएगा या भुजा।
• (c)3π cm² — 3π cm² किसी भी सही या ग़लत विधि से नहीं निकलता, और यही इसे पहचानने का सबसे तेज़ तरीक़ा है। इसके लिए त्रिज्या का वर्ग 3 चाहिए, यानी त्रिज्या √3 cm, और इस आकृति में ऐसी कोई लंबाई है ही नहीं — भुजा 2 cm है, आधी भुजा 1 cm, विकर्ण 2√2 cm और आधा विकर्ण √2 cm। यह विकल्प केवल इसलिए रखा गया है कि वह दो विश्वसनीय उत्तरों, 2π और 4π, के बीच बैठकर विकल्पों की सूची को सुसंगत बना दे। ऐसे प्रश्नों में यह जाँच उपयोगी रहती है: उत्तर में जो त्रिज्या निहित है उसे निकालिए और देखिए कि वह आकृति की किसी वास्तविक लंबाई से मेल खाती है या नहीं।
• (d)4π cm² — 4π cm² उस भूल से आता है जिसमें वर्ग की भुजा को ही वृत्त की त्रिज्या मान लिया जाता है — भुजा 2 cm, इसलिए πr² = π × 2² = 4π cm²। पर 2 cm यहाँ भुजा है, त्रिज्या नहीं; सही त्रिज्या आधा विकर्ण है, यानी √2 cm। त्रिज्या और व्यास तथा भुजा और विकर्ण की अदला-बदली क्षेत्रमिति की सबसे आम भूल है, और यहाँ वह ठीक दोगुना उत्तर देती है, क्योंकि 4π सही उत्तर 2π का दुगुना है। एक मोटी जाँच भी इसे काट देती है: वर्ग का क्षेत्रफल 4 cm² है और उसे घेरने वाला वृत्त वर्ग से थोड़ा ही बड़ा होना चाहिए, जबकि 4π लगभग 12·57 cm² है, यानी वर्ग से तिगुने से भी अधिक। 2π लगभग 6·28 cm² है, जो वर्ग से डेढ़ गुना कुछ अधिक — यही उचित लगता है।

वर्ग और वृत्त की जोड़ी में दो ही स्थितियाँ बनती हैं, और उन दोनों को उनके सूत्रों के साथ याद रखना पर्याप्त है। पहली स्थिति में वृत्त बाहर है और वर्ग भीतर, यानी परिवृत्त; तब वृत्त का व्यास वर्ग के विकर्ण के बराबर होता है, इसलिए भुजा s के वर्ग के लिए त्रिज्या s/√2 और वृत्त का क्षेत्रफल πs²/2 होता है। दूसरी स्थिति में वृत्त भीतर है और वर्ग बाहर, यानी अंत:वृत्त; तब वृत्त का व्यास वर्ग की भुजा के बराबर होता है, इसलिए त्रिज्या s/2 और क्षेत्रफल πs²/4 होता है। दोनों को क्षेत्रफल की भाषा में कहिए तो और सुविधा होती है — वर्ग का क्षेत्रफल A हो तो परिवृत्त का क्षेत्रफल πA/2 और अंत:वृत्त का πA/4, यानी दोनों का अनुपात ठीक 2 : 1। यही तर्क उलटी दिशा में भी चलता है: वृत्त के भीतर अंकित वर्ग का विकर्ण वृत्त का व्यास होता है, और वृत्त के बाहर बने वर्ग की भुजा वृत्त का व्यास। हर बार यही एक प्रश्न पूछिए — दोनों आकृतियों का स्पर्श कहाँ हो रहा है, शीर्षों पर या भुजाओं पर।

मुख्य तथ्य

• वर्ग को समाने वाला सबसे छोटा वृत्त उसका परिवृत्त होता है, जो चारों शीर्षों से होकर जाता है।
• परिवृत्त का व्यास वर्ग के विकर्ण के बराबर होता है, भुजा के नहीं।
• भुजा s के वर्ग का विकर्ण s√2 होता है, इसलिए परिवृत्त की त्रिज्या s/√2 होती है।
• क्षेत्रफल 4 cm² वाले वर्ग की भुजा 2 cm, विकर्ण 2√2 cm और परिवृत्त की त्रिज्या √2 cm है।
• परिवृत्त का क्षेत्रफल π × (√2)² = 2π cm² बनता है।
• वर्ग के भीतर बैठने वाले सबसे बड़े वृत्त का व्यास भुजा के बराबर होता है और यहाँ उसका क्षेत्रफल π cm² होगा।
• क्षेत्रफल A वाले वर्ग के लिए परिवृत्त का क्षेत्रफल πA/2 और अंत:वृत्त का πA/4 होता है।
• परिवृत्त और अंत:वृत्त के क्षेत्रफलों का अनुपात सदा 2 : 1 रहता है।

सामान्य भ्रम

• भुजा को व्यास मान लेना, जिससे परिवृत्त की जगह अंत:वृत्त का क्षेत्रफल निकल आता है।
• भुजा को सीधे त्रिज्या मान लेना, जिससे उत्तर ठीक दोगुना हो जाता है।
• विकर्ण को त्रिज्या मान लेना, जबकि वह व्यास है।
• (√2)² को 2 के बजाय कुछ और लिख देना, जो जल्दबाज़ी में होने वाली सबसे सस्ती भूल है।
• यह देखे बिना हल आरंभ कर देना कि दोनों आकृतियों में भीतर कौन है और बाहर कौन।

• practice — not a real PYQ

  9 cm² क्षेत्रफल वाले वर्ग को अपने भीतर समाने वाले सबसे छोटे वृत्त का क्षेत्रफल क्या होगा?

  • (a)3π cm²
  • (b)4·5π cm²
  • (c)9π cm²
  • (d)2·25π cm²

  उत्तर(b) 4·5π cm² — क्षेत्रफल A वाले वर्ग के परिवृत्त का क्षेत्रफल πA/2 होता है, इसलिए यहाँ 9π/2 बनता है।

• practice — not a real PYQ

  किसी वर्ग के परिवृत्त और अंत:वृत्त के क्षेत्रफलों का अनुपात निम्नलिखित में से कौन-सा है?

  • (a)1 : 1
  • (b)√2 : 1
  • (c)2 : 1
  • (d)4 : 1

  उत्तर(c) 2 : 1 — परिवृत्त का व्यास विकर्ण के बराबर है और अंत:वृत्त का भुजा के, इसलिए त्रिज्याओं का अनुपात √2 : 1 और क्षेत्रफलों का 2 : 1 होता है।