यदि एक नये गोलाकार डिब्बे की त्रिज्या पुराने गोलाकार डिब्बे की त्रिज्या की दोगुनी है, तो नये डिब्बे के आयतन और पुराने डिब्बे के आयतन का अनुपात है

सही उत्तर — C, (c) 8 : 1। निर्णायक चरण यह पहचानना है कि गोले का आयतन त्रिज्या के घन के समानुपाती होता है — त्रिज्या के, न कि उसके वर्ग के, और घन में, न कि सीधे।

गोले का आयतन V = (4/3)πr³।

पुराने डिब्बे की त्रिज्या r मान लीजिए, तो नए की 2r है।

नए का आयतन = (4/3)π(2r)³ = (4/3)π × 8r³ = 8 × (4/3)πr³।

अतः नए और पुराने के आयतन का अनुपात = 8 : 1, अर्थात विकल्प (c)।

दो बातें ध्यान देने योग्य हैं। पहली, (2r)³ में घात केवल r पर नहीं, पूरे 2r पर लगती है, इसलिए 2 भी घन होकर 8 बनता है — यहीं सबसे अधिक भूल होती है। दूसरी, अनुपात में π तथा 4/3 दोनों ऊपर-नीचे कट जाते हैं, इसलिए उत्तर में π आ ही नहीं सकता; अनुपात एक शुद्ध संख्या होती है।

सामान्य नियम याद रख लीजिए, क्योंकि वह हर ठोस पर लागू होता है: यदि कोई आकृति समरूप ढंग से k गुनी बड़ी की जाए, तो उसकी लंबाइयाँ k गुनी, क्षेत्रफल k² गुना और आयतन k³ गुना हो जाते हैं। यहाँ k = 2 है, इसलिए आयतन 2³ = 8 गुना।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (a)2 : 1 — 2 : 1 वह उत्तर है जो त्रिज्या के अनुपात को ही आयतन का अनुपात मान लेने से आता है। त्रिज्या अवश्य दोगुनी है, पर आयतन एक विमीय राशि नहीं, त्रिविमीय राशि है — वह तीनों दिशाओं में बढ़ता है। यदि आयतन भी त्रिज्या के साथ सीधे बढ़ता, तो दोगुनी त्रिज्या वाला डिब्बा केवल दोगुना पानी रखता, जबकि वास्तव में वह आठ गुना रखता है। यह अंतर व्यावहारिक रूप से बड़ा है और परीक्षा इसी को जाँचती है।
• (b)4 : 1 — 4 : 1 इस प्रश्न का सबसे सुसंगत ग़लत उत्तर है, क्योंकि वह किसी और राशि का सही अनुपात है — यह गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात है। पृष्ठीय क्षेत्रफल S = 4πr² में त्रिज्या का वर्ग आता है, इसलिए त्रिज्या दोगुनी होने पर क्षेत्रफल 2² = 4 गुना हो जाता है। प्रश्न आयतन पूछ रहा है, क्षेत्रफल नहीं, और आयतन में घात 3 है, 2 नहीं। सूत्र लिखते समय ही यह तय कर लीजिए कि माँगी गई राशि में त्रिज्या की घात क्या है।
• (d)2π : 1 — 2π : 1 इस भ्रम से आता है कि सूत्र में π है तो उत्तर में भी रहेगा। पर यहाँ दोनों आयतन एक ही आकृति के हैं, इसलिए भाग देने पर (4/3)π ऊपर और नीचे दोनों जगह होकर कट जाता है और केवल त्रिज्याओं की घातों का अनुपात बचता है। साथ ही 2π का अर्थ लगभग 6·28 होगा, जो न किसी घात से निकलता है, न किसी सुसंगत गणना से। जब भी एक ही प्रकार की दो आकृतियों का अनुपात पूछा जाए, स्थिरांक सदैव कट जाते हैं।

समरूप आकृतियों के मापन का नियम तीन पंक्तियों का है। लंबाई का अनुपात k : 1 हो तो क्षेत्रफल का अनुपात k² : 1 और आयतन का अनुपात k³ : 1 होता है। गोले के लिए आयतन V = (4/3)πr³ और पृष्ठीय क्षेत्रफल S = 4πr² — दोनों में त्रिज्या की घातें क्रमशः 3 और 2 हैं, इसलिए वही नियम सूत्र से भी निकल आता है। यही तर्क उलटी दिशा में भी चलता है: यदि आयतन आठ गुना हो जाए तो त्रिज्या दोगुनी हुई है, और यदि आयतन 27 गुना हो तो त्रिज्या तिगुनी।

मुख्य तथ्य

• गोले का आयतन V = (4/3)πr³ होता है।
• गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल S = 4πr² होता है।
• त्रिज्या दोगुनी करने पर आयतन 2³ = 8 गुना हो जाता है।
• त्रिज्या दोगुनी करने पर पृष्ठीय क्षेत्रफल 2² = 4 गुना हो जाता है।
• (2r)³ में घात पूरे 2r पर लगती है, इसलिए 8r³ बनता है।
• एक ही प्रकार की दो आकृतियों का अनुपात लेने पर π तथा अन्य स्थिरांक कट जाते हैं।
• समरूप आकृतियों में लंबाई k गुनी होने पर क्षेत्रफल k² और आयतन k³ गुना होता है।
• आयतन 27 गुना होने का अर्थ है त्रिज्या तिगुनी हुई।

सामान्य भ्रम

• आयतन के अनुपात में त्रिज्या की घात 2 लगा देना, जो वस्तुतः क्षेत्रफल का नियम है।
• केवल r पर घात लगाना और गुणक 2 को घन करना भूल जाना।
• उत्तर में π को बचाए रखना, जबकि अनुपात में वह कट जाता है।
• त्रिज्या और व्यास को आपस में बदल देना।
• 'दोगुनी त्रिज्या' का अर्थ 'दोगुना आयतन' मान लेना।

• practice — not a real PYQ

  यदि किसी गोले की त्रिज्या दोगुनी कर दी जाए, तो उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल का नए और पुराने का अनुपात क्या होगा?

  • (a)2 : 1
  • (b)4 : 1
  • (c)8 : 1
  • (d)16 : 1

  उत्तर(b) 4 : 1

• practice — not a real PYQ

  किसी गोले का आयतन 27 गुना हो जाने पर उसकी त्रिज्या कितनी गुनी हुई होगी?

  • (a)3 गुनी
  • (b)9 गुनी
  • (c)27 गुनी
  • (d)6 गुनी

  उत्तर(a) 3 गुनी