दो वाहन A और B एक ही दिशा में क्रमशः 30 km प्रति घंटा और 60 km प्रति घंटा की एकसमान चाल से चल रहे हैं। वे एक ही समय पर एक ही स्थान से 120 km की दूरी के लिए निकलते हैं। तेज चलने वाला वाहन B लक्ष्य तक पहुँचता है और उसी चाल से वापस लौटने लगता है। मान लीजिए कि दिशा बदलने में होने वाली समय की हानि नगण्य है। यदि दोनों वाहनों द्वारा एक-दूसरे को पार करने से पहले धीरे चलने वाले वाहन A द्वारा तय की गयी दूरी x है, तो x का मान है

सही उत्तर — C, (c) 80 km। इस प्रश्न को दो चरणों में भी हल किया जा सकता है और एक ही चरण में भी। पहले सीधा रास्ता देखिए।

B को 120 km तय करने में 120 ÷ 60 = 2 घंटे लगते हैं। उन्हीं 2 घंटों में A ने 30 × 2 = 60 km तय किया है। अब B लौटना शुरू करता है, और इस क्षण दोनों के बीच की दूरी 120 − 60 = 60 km है। अब वे आमने-सामने आ रहे हैं, इसलिए सापेक्ष चाल 30 + 60 = 90 km प्रति घंटा है, और मिलने में 60 ÷ 90 = 2/3 घंटा लगेगा। इस अवधि में A और 30 × 2/3 = 20 km चलेगा।

अतः x = 60 + 20 = 80 km, अर्थात विकल्प (c)।

अब वह चरण देखिए जो पूरा प्रश्न एक पंक्ति में समेट देता है। जिस क्षण दोनों एक-दूसरे को पार करते हैं, यदि A ने x दूरी तय की है तो B ने 120 तक जाकर वापस 120 − x लौटकर कुल (240 − x) दूरी तय की है। दोनों की कुल दूरी = x + (240 − x) = 240 km — यानी वह किसी भी स्थिति में 240 km रहेगी। चूँकि दोनों एक ही समय चले हैं, कुल समय = 240 ÷ (30 + 60) = 8/3 घंटा, और x = 30 × 8/3 = 80 km।

अनुपात से देखिए तो और छोटा हो जाता है: चालों का अनुपात 30 : 60 = 1 : 2 है, इसलिए समान समय में तय दूरियाँ भी 1 : 2 के अनुपात में होंगी। कुल 240 km को 1 : 2 में बाँटिए — A के हिस्से 80 km और B के हिस्से 160 km। जाँच भी हो गई: B ने 160 km चलकर 120 − 40 = 80 km पर स्थिति बनाई, जो A की स्थिति के बराबर है।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (a)70 km — 70 km मानकर जाँचिए तो विरोध सामने आ जाता है। A को 70 km चलने में 70 ÷ 30 = 7/3 घंटे लगेंगे। उतने ही समय में B चलेगा 60 × 7/3 = 140 km, अर्थात वह 120 तक जाकर 20 km लौट चुका होगा और 100 km की स्थिति पर होगा। A तब 70 km पर है — दोनों एक ही बिंदु पर नहीं हैं, इसलिए वे अभी मिले ही नहीं। यह उत्तर सही से कम है, यानी मिलने के क्षण से पहले का है।
• (b)75 km — 75 km भी इसी जाँच से कट जाता है। A को 75 km चलने में 2·5 घंटे लगते हैं; उतने समय में B 150 km चलकर 90 km की स्थिति पर होगा, जबकि A 75 km पर है। दोनों के बीच अब भी 15 km का अंतर है, इसलिए यह पार करने का क्षण नहीं है। ध्यान दीजिए कि किसी भी सुसंगत विधि — दो-चरण वाली, कुल-दूरी वाली अथवा अनुपात वाली — से यह संख्या नहीं निकलती; यह केवल सही उत्तर के पास खड़ा किया गया विकल्प है।
• (d)90 km — 90 km सबसे स्वाभाविक ग़लती से आता है — यह मान लेना कि 60 km का बचा हुआ अंतर दोनों आधा-आधा तय करेंगे, यानी A 30 km और B 30 km। यह तभी सही होता जब दोनों की चालें बराबर होतीं। यहाँ B की चाल A से दुगुनी है, इसलिए वह अंतर 1 : 2 के अनुपात में बँटेगा — A केवल 20 km और B 40 km। जाँच लीजिए: A को 90 km चलने में 3 घंटे लगते, और उतने समय में B 180 km चलकर 60 km की स्थिति पर होता, यानी वे इससे पहले ही एक-दूसरे को पार कर चुके होते।

यह प्रश्न सापेक्ष चाल के दोनों नियमों को एक साथ लगाता है। पहले चरण में दोनों एक ही दिशा में हैं, इसलिए अंतर बढ़ने की दर चालों का अंतर है; दूसरे चरण में वे आमने-सामने हैं, इसलिए अंतर घटने की दर चालों का योग है। इसके साथ एक और उपयोगी विचार जुड़ता है — समान समय में तय की गई दूरियाँ चालों के अनुपात में होती हैं। जब दोनों वस्तुएँ एक ही क्षण चलना आरंभ करती हैं और एक ही क्षण मिलती हैं, तो उनकी कुल दूरियों को उसी अनुपात में बाँटकर उत्तर सीधे निकाला जा सकता है, चरणों में जाए बिना।

मुख्य तथ्य

• B को 120 km तय करने में 2 घंटे लगते हैं।
• उन 2 घंटों में A 60 km तय कर चुका होता है।
• लौटते समय दोनों आमने-सामने होते हैं, इसलिए सापेक्ष चाल 30 + 60 = 90 km प्रति घंटा।
• शेष 60 km का अंतर 2/3 घंटे में समाप्त होता है, जिसमें A 20 km और चलता है।
• मिलने तक दोनों की कुल दूरी सदैव 240 km रहती है।
• कुल समय = 240 ÷ 90 = 8/3 घंटा।
• समान समय में तय दूरियाँ चालों के अनुपात 1 : 2 में बँटती हैं — 80 km और 160 km।
• B की स्थिति = 120 − 40 = 80 km, जो A की स्थिति के बराबर है।

सामान्य भ्रम

• बचे हुए अंतर को दोनों में आधा-आधा बाँट देना, जबकि चालें असमान हैं।
• लौटने के बाद भी सापेक्ष चाल में अंतर लेते रहना, जबकि तब योग लेना है।
• यह भूल जाना कि लौटते समय भी दोनों एक साथ चल रहे हैं।
• x को B की तय की गई दूरी समझ लेना, जबकि प्रश्न धीरे चलने वाले वाहन A की दूरी पूछता है।
• उत्तर निकालकर उसे दोनों वाहनों की स्थिति से न जाँचना।

• practice — not a real PYQ

  दो वाहन एक ही स्थान से एक ही समय पर एक ही दिशा में क्रमशः 20 km प्रति घंटा और 40 km प्रति घंटा की चाल से 60 km की दूरी के लिए निकलते हैं। तेज़ वाहन लक्ष्य पर पहुँचकर उसी चाल से लौटता है। एक-दूसरे को पार करने से पहले धीमा वाहन कितनी दूरी तय कर चुका होगा?

  • (a)30 km
  • (b)36 km
  • (c)40 km
  • (d)45 km

  उत्तर(c) 40 km

• practice — not a real PYQ

  इस प्रश्न में एक-दूसरे को पार करने तक दोनों वाहनों द्वारा तय की गई कुल दूरी कितनी होगी?

  • (a)120 km
  • (b)180 km
  • (c)240 km
  • (d)300 km

  उत्तर(c) 240 km