मान लीजिए कि x को 61 से विभाजित करने पर शेषफल 2 प्राप्त होता है। x⁷ को 61 से विभाजित करने पर शेषफल क्या होगा?

सही उत्तर — D, (d) 6। इस प्रश्न का निर्णायक चरण यह जानना है कि शेषफल गुणा के साथ चलता है। यदि किसी संख्या को n से भाग देने पर शेषफल r आता है, तो उस संख्या की किसी भी घात को n से भाग देने पर वही शेषफल आएगा जो r की उसी घात को n से भाग देने पर आता है।

यहाँ x को 61 से भाग देने पर शेषफल 2 है, इसलिए x = 61k + 2 के रूप का है।

अब x⁷ = (61k + 2)⁷। इस विस्तार के हर पद में 61 का कोई न कोई गुणनखंड रहेगा, केवल अंतिम पद 2⁷ को छोड़कर। इसलिए 61 से भाग देने पर वे सारे पद कट जाएँगे और शेषफल केवल 2⁷ से तय होगा।

2⁷ = 128।

128 को 61 से भाग दीजिए: 61 × 2 = 122, और 128 − 122 = 6।

अतः शेषफल 6 है, अर्थात विकल्प (d)।

अंतिम चरण को छोड़ देना यहाँ सबसे आम भूल है। 128 स्वयं शेषफल नहीं हो सकता, क्योंकि शेषफल सदैव भाजक से छोटा होता है — 61 से भाग देने पर शेषफल 0 से 60 के बीच ही रहेगा। इसलिए 2⁷ निकालने के बाद उसे फिर से 61 से भाग देना अनिवार्य है। जाँचना हो तो कोई ठोस संख्या ले लीजिए: x = 63 लेने पर 63 = 61 + 2 है, और 63⁷ को 61 से भाग देने पर वही 6 शेष बचता है।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (a)2 — 2 वह उत्तर है जो यह मान लेने से आता है कि घात लगाने पर शेषफल नहीं बदलता — अर्थात x का शेषफल 2 है तो x⁷ का भी 2 ही होगा। यह केवल विशेष स्थितियों में सच होता है, जब शेषफल 0 या 1 हो, अथवा जब घात और भाजक का कोई विशेष संबंध हो। सामान्य नियम यह है कि शेषफल भी उसी घात तक उठता है: यहाँ 2 नहीं, 2⁷ लेना है, और फिर उसे 61 से भाग देना है।
• (b)4 — 4 वहाँ से आता है जहाँ परीक्षार्थी घात लगाता तो है, पर सात के स्थान पर दो की — यानी 2² = 4 निकालकर रुक जाता है। यदि प्रश्न x² का शेषफल पूछता, तो 4 ही सही उत्तर होता, क्योंकि 4 पहले से 61 से छोटा है और उसे और घटाने की आवश्यकता नहीं। पर यहाँ घात सात है, इसलिए 2⁷ = 128 लेना पड़ेगा और उसे 61 से भाग देना पड़ेगा।
• (c)5 — 5 किसी भी विधि से नहीं निकलता — न 2 की किसी घात से, न 128 को किसी संबंधित संख्या से भाग देने पर। यह विकल्प केवल इसलिए रखा गया है कि सही उत्तर 6 के ठीक पहले एक और छोटी संख्या खड़ी रहे और अनुमान से चुनने वाला परीक्षार्थी दोनों के बीच झूल जाए। ऐसे प्रश्न में अनुमान का कोई स्थान नहीं है, क्योंकि पूरी गणना दो पंक्तियों की है।

मापांक अंकगणित (modular arithmetic) का मूल नियम यही है कि यदि a ≡ b (mod n), तो a + c ≡ b + c, a × c ≡ b × c और aᵏ ≡ bᵏ (mod n) होते हैं। इसीलिए बड़ी संख्याओं के शेषफल निकालने के लिए पूरी संख्या की गणना करने की आवश्यकता नहीं होती — पहले आधार का शेषफल निकालिए, फिर उसी छोटे शेषफल पर घात लगाइए, और जब भी परिणाम भाजक से बड़ा हो जाए, उसे तुरंत घटा लीजिए। बहुत बड़ी घातों में एक कदम और जुड़ता है: शेषफलों का चक्र खोजिए, क्योंकि वे थोड़े-थोड़े अंतराल पर दोहराने लगते हैं।

मुख्य तथ्य

• शेषफल गुणा तथा घात के साथ चलता है — x ≡ 2 (mod 61) से x⁷ ≡ 2⁷ (mod 61)।
• x = 61k + 2 लिखने पर (61k + 2)⁷ के सभी पद 61 से कटते हैं, केवल 2⁷ बचता है।
• 2⁷ = 128।
• 128 − 122 = 6, इसलिए शेषफल 6 है।
• शेषफल सदैव भाजक से छोटा होता है — 61 से भाग देने पर वह 0 से 60 के बीच रहेगा।
• यदि प्रश्न x² का शेषफल पूछता तो उत्तर 4 होता, क्योंकि 4 पहले से 61 से छोटा है।
• मापांक अंकगणित का नियम — a ≡ b (mod n) से aᵏ ≡ bᵏ (mod n)।
• बहुत बड़ी घातों में शेषफलों का चक्र पहचानकर काम छोटा किया जाता है।

सामान्य भ्रम

• यह मान लेना कि घात लगाने पर शेषफल नहीं बदलता।
• 2⁷ = 128 निकालकर वहीं रुक जाना और उसे 61 से भाग देना भूल जाना।
• शेषफल को भाजक से बड़ा छोड़ देना।
• घात 7 के स्थान पर 2 लगा देना।
• x का कोई एक मान मानकर पूरी बड़ी घात की गणना करने बैठ जाना, जबकि केवल शेषफल पर काम करना पर्याप्त है।

• practice — not a real PYQ

  यदि किसी संख्या को 61 से भाग देने पर शेषफल 2 आता है, तो उसी संख्या के वर्ग को 61 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

  • (a)2
  • (b)4
  • (c)6
  • (d)8

  उत्तर(b) 4

• practice — not a real PYQ

  यदि x को 7 से भाग देने पर शेषफल 3 आता है, तो x³ को 7 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?

  • (a)1
  • (b)3
  • (c)5
  • (d)6

  उत्तर(d) 6