पैलिंड्रोम एक ऐसी संख्या है, जो बायीं और दायीं, दोनों ओर से, समान पढ़ी जाती है, उदाहरण के लिए 23732 है । 10 और 1010 के बीच पैलिंड्रोमों की संख्या क्या है ?

सही उत्तर — B, (b) 100 — गिनती अंकों की संख्या के अनुसार तीन खंडों में बाँटने से खुल जाती है। दो अंकों वाले पैलिंड्रोम वही हैं जिनके दोनों अंक समान हों — 11, 22, 33 … 99 — कुल 9। तीन अंकों वाले पैलिंड्रोम में पहला अंक 1 से 9 तक (9 विकल्प), बीच का अंक 0 से 9 तक (10 विकल्प) और अन्तिम अंक पहले के बराबर, इसलिए 9 × 10 = 90। इसके बाद 1000 से 1010 तक का छोटा-सा टुकड़ा बचता है, और उसमें चार अंकों वाला पैलिंड्रोम केवल एक है — 1001; अगला 1111 है, जो सीमा से बाहर चला जाता है। कुल हुआ 9 + 90 + 1 = 100। एक बात और ध्यान देने की है: दोनों सीमाएँ स्वयं पैलिंड्रोम नहीं हैं — 10 उलटने पर 01 और 1010 उलटने पर 0101 बनता है — इसलिए 'के बीच' को समावेशी पढ़ें या अपवर्जी, उत्तर वही रहता है। इस गिनती का सामान्य नियम भी साथ ही समझ लीजिए, क्योंकि परीक्षा परास बदलकर वही प्रश्न दोहराती है: किसी नियत अंक-लंबाई के पैलिंड्रोम में केवल पहली आधी संख्या स्वतंत्र होती है और शेष आधी उसी का दर्पण होती है, और पहला अंक शून्य नहीं हो सकता। इसलिए दो अंकों वाले 9, तीन अंकों वाले 9 × 10 = 90, चार अंकों वाले भी 9 × 10 = 90 और पाँच अंकों वाले 9 × 10 × 10 = 900 होते हैं। इस नियम को जान लेने के बाद किसी भी परास की गिनती केवल दो काम की रह जाती है — खंड बनाइए और सीमाओं पर पड़ने वाले अधूरे खंड को हाथ से जाँच लीजिए।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (a)101 — 101 तब आता है जब अन्तिम टुकड़े में एक अतिरिक्त संख्या गिन ली जाए — प्रायः 1010 को ही पैलिंड्रोम मान लेने से। पर 1010 को उलटने पर 0101 मिलता है, जो उसी संख्या का पाठ नहीं है, इसलिए वह गिनती में नहीं आता। ऊपरी सीमा पर बैठी संख्या को जाँचना इस प्रश्न का सबसे आसानी से छूट जाने वाला चरण है।
• (c)99 — 99 ठीक वही उत्तर है जो 9 + 90 पर रुक जाने से मिलता है, अर्थात् दो और तीन अंकों वाले पैलिंड्रोम गिनकर 1000 के आगे का टुकड़ा भूल जाने से। सीमा 1010 है, 999 नहीं, और उस अतिरिक्त टुकड़े में ठीक एक पैलिंड्रोम — 1001 — बैठता है। यही इस प्रश्न का मुख्य जाल है।
• (d)90 — 90 केवल तीन अंकों वाले पैलिंड्रोमों की संख्या है। यह उत्तर तब आता है जब दो अंकों वाले 11 से 99 तक के नौ पैलिंड्रोम छूट जाएँ — प्रायः इसलिए कि 'पैलिंड्रोम' का उदाहरण प्रश्न में पाँच अंकों का दिया गया है और ध्यान बड़ी संख्याओं पर चला जाता है।

पैलिंड्रोम वह संख्या है जो बायीं और दायीं दोनों ओर से एक-सी पढ़ी जाए। उसकी गिनती का सारा तर्क सममिति पर टिका है: संख्या का पिछला आधा भाग अगले आधे भाग से पूरी तरह तय हो जाता है, इसलिए स्वतंत्र चुनाव केवल आधे अंकों का होता है। विषम अंक-लंबाई में बीच का अंक भी स्वतंत्र रहता है, इसलिए तीन अंकों वाले पैलिंड्रोम में दो स्वतंत्र स्थान होते हैं — पहला और बीच का। पहला अंक कभी शून्य नहीं हो सकता, क्योंकि तब संख्या की लंबाई ही घट जाएगी, इसलिए उसके लिए नौ ही विकल्प रहते हैं जबकि शेष स्वतंत्र स्थानों के लिए दस-दस। यही कारण है कि हर अंक-लंबाई पर गिनती 9 से आरम्भ होकर 10 के गुणकों में बढ़ती है, और गिनती के प्रश्न में परास को अंक-लंबाई के खंडों में बाँट देना सबसे सुरक्षित रीति बन जाती है।

मुख्य तथ्य

• दो अंकों वाले पैलिंड्रोम वही हैं जिनके दोनों अंक समान हों — 11 से 99 तक, कुल 9।
• तीन अंकों वाले पैलिंड्रोम में पहला अंक 1 से 9 तक और बीच का 0 से 9 तक चुना जा सकता है, इसलिए 9 × 10 = 90।
• 1000 और 1010 के बीच चार अंकों वाला पैलिंड्रोम केवल 1001 है; अगला 1111 है, जो सीमा से बाहर चला जाता है।
• 10 और 1010 दोनों स्वयं पैलिंड्रोम नहीं हैं, इसलिए 'के बीच' को समावेशी पढ़ें या अपवर्जी, उत्तर वही रहता है।
• सामान्य नियम — n अंकों वाले पैलिंड्रोम की संख्या 9 × 10 की उस घात के बराबर होती है जो स्वतंत्र स्थानों से एक कम हो; चार अंकों वाले भी 90 ही होते हैं।

सामान्य भ्रम

• सीमा के ठीक ऊपर या नीचे पड़ने वाला छोटा टुकड़ा छोड़ देना — यहाँ 1000 से 1010 तक का, जिसमें ठीक एक पैलिंड्रोम बैठता है।
• उदाहरण में दी गई बड़ी संख्या देखकर छोटी अंक-लंबाई वाले पैलिंड्रोम गिनना भूल जाना।
• सीमा पर बैठी संख्या को बिना जाँचे पैलिंड्रोम मान लेना — 1010 उलटने पर 0101 बनता है, इसलिए वह गिनती में नहीं आता।

• practice — not a real PYQ

  100 और 1000 के बीच कितने पैलिंड्रोम हैं ?

  • (a)81
  • (b)90
  • (c)99
  • (d)100

  उत्तर(b) 90 — तीन अंकों वाले पैलिंड्रोम में पहला अंक 1 से 9 तक और बीच का अंक 0 से 9 तक, इसलिए 9 × 10 = 90; दोनों सीमाएँ स्वयं पैलिंड्रोम नहीं हैं।