किसी दौड़ में, प्रथम चार विजेताओं को अंक प्रदान किए जाने हैं । प्रत्येक विजेता के अंक उसके ठीक बाद के स्थान के विजेता के अंकों से 5 अधिक होने आवश्यक हैं । कुल प्रदान किए जाने वाले अंकों का योगफल 50 है । तीसरे स्थान के विजेता के लिए कितने अंक होंगे ?

सही उत्तर — C, (c) 10 — यह समांतर श्रेढ़ी का सीधा प्रश्न है, बस उसे शब्दों से समीकरण में उतारना है।

शर्त कहती है कि प्रत्येक विजेता के अंक अपने ठीक बाद वाले स्थान के विजेता से 5 अधिक हैं। इसका अर्थ है कि चारों अंक 5 के सार्व अंतर वाली श्रेढ़ी में हैं, और ऊपर से नीचे घटते जाते हैं।

चौथे स्थान के अंक x मान लीजिए। तब —

चौथा = x तीसरा = x + 5 दूसरा = x + 10 पहला = x + 15

चारों का योग 50 है :

x + (x + 5) + (x + 10) + (x + 15) = 50 4x + 30 = 50 4x = 20, इसलिए x = 5

अतः अंक हैं — पहला 20, दूसरा 15, तीसरा 10, चौथा 5। तीसरे स्थान के विजेता को 10 अंक मिलेंगे, यानी विकल्प (c)।

औसत के रास्ते से भी वही उत्तर तेज़ी से मिलता है। चार अंकों का योग 50 है, इसलिए औसत 12·5। समांतर श्रेढ़ी में औसत बीच के दो पदों के ठीक बीच पड़ता है, यानी दूसरे और तीसरे स्थान के बीच। सार्व अंतर 5 है, इसलिए तीसरा पद औसत से आधा अंतर नीचे होगा : 12·5 − 2·5 = 10।

अंत में एक बात, जो इस प्रश्न में सबसे अधिक अंक कटवाती है : उत्तर लिखने से पहले यह जाँच लीजिए कि पूछा गया स्थान कौन-सा है। यहाँ चारों संख्याएँ — 20, 15, 10 और 5 — इस श्रेढ़ी की वास्तविक संख्याएँ हैं, और विकल्पों में उनमें से दो अन्य स्थानों के अंक भी रखे गए हैं।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (a)30 — 30 इस श्रेढ़ी में किसी भी स्थान का अंक नहीं है। यदि किसी स्थान को 30 अंक मिलते तो शेष तीन स्थानों के अंक क्रमशः 25, 20, 15 या 25, 20, 35 जैसे बनते और चारों का योग 50 से कहीं अधिक हो जाता। कुल 50 अंक चार विजेताओं में बँटने हैं, इसलिए औसत 12·5 है और सबसे बड़ा अंक भी 20 ही है। परिमाण की यह मोटी जाँच — कुल योग को विजेताओं की संख्या से भाग देकर देखना — ऐसे विकल्पों को पहले ही हटा देती है।
• (b)20 — 20 वास्तव में इस श्रेढ़ी का एक अंक है, पर वह पहले स्थान के विजेता का है, तीसरे का नहीं। यही इस प्रश्न का मुख्य जाल है : ग़लत विकल्पों में दो वे ही संख्याएँ हैं जो अन्य स्थानों के अंक हैं। जिसने गणना ठीक की पर यह भूल गया कि पूछा तीसरा स्थान गया है, वह यहीं आकर रुकता है — विशेषकर वह पाठक जो श्रेढ़ी को नीचे से ऊपर की ओर लिखता है और फिर तीसरा पद नीचे से गिन लेता है।
• (d)5 — 5 भी इस श्रेढ़ी की वास्तविक संख्या है, पर वह चौथे यानी अंतिम स्थान के विजेता का अंक है। यह विकल्प उस पाठक के लिए है जो चर x को चौथे स्थान के लिए रखता है — जैसा यहाँ किया गया — और फिर x का मान निकालकर वहीं रुक जाता है। समीकरण हल हो जाने के बाद एक पंक्ति और लिखनी चाहिए, जिसमें चारों स्थानों के अंक अलग-अलग लिख दिए जाएँ; इसके बाद पूछा गया स्थान चुन लेना ग़लती की गुंजाइश नहीं छोड़ता।

समांतर श्रेढ़ी वह क्रम है जिसमें लगातार पदों का अंतर स्थिर रहता है। इस प्रश्न में वह स्थिर अंतर 5 है और पद घटते क्रम में हैं, क्योंकि ऊपर के स्थान को अधिक अंक मिलते हैं।

ऐसे प्रश्नों में दो उपाय काम आते हैं।

पहला, चर का चुनाव। यदि चर सबसे छोटे पद के लिए रखा जाए तो शेष पद जोड़ के रूप में आते हैं और ऋण-चिह्नों से बचाव हो जाता है। वैकल्पिक रूप से, सम संख्या में पदों वाली श्रेढ़ी में मध्य के आसपास चर रखने की चतुराई भी प्रयोग होती है, जिससे योग निकालते समय कई पद कट जाते हैं।

दूसरा, योग और औसत का सम्बन्ध। किसी भी समांतर श्रेढ़ी का औसत उसके पहले और अंतिम पद के औसत के बराबर होता है, और सम संख्या में पद होने पर वह बीच के दो पदों के ठीक बीच पड़ता है। यहाँ औसत 12·5 है, इसलिए बीच के दो पद 15 और 10 हैं — उत्तर लगभग बिना समीकरण के मिल जाता है।

यही ढाँचा वेतन-वृद्धि, किस्तों में भुगतान, और सीटों या पुरस्कारों के वितरण जैसे व्यावहारिक प्रश्नों में बार-बार लौटता है।

मुख्य तथ्य

• चारों विजेताओं के अंक समांतर श्रेढ़ी में हैं और सार्व अंतर 5 है, जिसमें ऊपर के स्थान को अधिक अंक मिलते हैं।
• चौथे स्थान के अंक x मानने पर समीकरण 4x + 30 = 50 बनता है, इसलिए x = 5।
• चारों स्थानों के अंक हैं : पहला 20, दूसरा 15, तीसरा 10 और चौथा 5।
• किसी समांतर श्रेढ़ी का औसत उसके पहले और अंतिम पद के औसत के बराबर होता है; यहाँ औसत 50 ÷ 4 = 12·5 है।
• सम संख्या में पद होने पर औसत बीच के दो पदों के ठीक बीच पड़ता है, इसलिए तीसरा पद 12·5 − 2·5 = 10 निकलता है।

सामान्य भ्रम

• गणना सही करके भी ग़लत स्थान का अंक लिख देना — विकल्पों में रखे गए 20 और 5 इसी चूक के लिए हैं।
• अंतर की दिशा उलट देना, यानी ऊँचे स्थान को कम अंक मान लेना, जिससे पूरी श्रेढ़ी पलट जाती है।
• उत्तर निकालकर योग की जाँच न करना; चारों स्थानों के अंकों का योग 50 होना ही चाहिए।

• practice — not a real PYQ

  चार पुरस्कारों के अंक समांतर श्रेढ़ी में हैं, सार्व अंतर 4 है और उनका योग 40 है । सबसे बड़े पुरस्कार के अंक कितने हैं ?

  • (a)13
  • (b)14
  • (c)16
  • (d)18

  उत्तर(c) 16

• practice — not a real PYQ

  इसी प्रश्न की शर्तों के अनुसार दूसरे स्थान के विजेता को कितने अंक मिलेंगे ?

  • (a)20
  • (b)15
  • (c)10
  • (d)5

  उत्तर(b) 15