समान आमाप और आकार की चार गेंदें, केवल ऊपर से खुले एक संदूक में हैं । प्रत्येक गेंद भिन्न-भिन्न रंग की है, ये रंग हैं : हरा, लाल, सफेद एवं नीला । एक रंग की केवल एक ही गेंद है । बिना संदूक में देखे, एक गेंद यादृच्छिकतः बाहर निकाली गई और इसका रंग नोट करने के बाद उसे संदूक में वापस रख दिया गया । दो क्रमिक निकासियों में एक सफेद और एक लाल गेंद के, किसी भी अनुक्रम में, निकाले जाने की क्या संभावना है ?

सही उत्तर — B, (b) 1/8 — दो बातें तय कर लेने पर यह प्रश्न दो पंक्तियों का रह जाता है : निकाली गई गेंद वापस रखी जाती है, और क्रम की कोई शर्त नहीं है।

संदूक में चार गेंदें हैं और चारों अलग-अलग रंग की, इसलिए किसी एक निकासी में किसी नियत रंग के आने की संभावना 1/4 है। चूँकि गेंद रंग नोट करके वापस रख दी जाती है, दूसरी निकासी पहली से अप्रभावित रहती है — दोनों घटनाएँ स्वतंत्र हैं और संदूक की संरचना दोनों बार एक जैसी है।

अब अनुकूल स्थितियाँ गिनिए। ‘एक सफेद और एक लाल, किसी भी अनुक्रम में’ का अर्थ है दो अलग-अलग तरीक़े :

पहले सफेद, फिर लाल = 1/4 × 1/4 = 1/16 पहले लाल, फिर सफेद = 1/4 × 1/4 = 1/16

ये दोनों परस्पर अपवर्जी हैं, इसलिए इन्हें जोड़ा जाता है :

1/16 + 1/16 = 2/16 = 1/8

यही विकल्प (b) है।

गिनती के रास्ते से भी वही उत्तर आता है। वापस रखने के कारण दो निकासियों के कुल संभव परिणाम 4 × 4 = 16 हैं, और इनमें अनुकूल परिणाम केवल दो — (सफेद, लाल) और (लाल, सफेद)। अतः संभावना 2/16 = 1/8।

एक तुलना याद रखने योग्य है। यदि गेंद वापस न रखी जाती, तो दूसरी निकासी में केवल तीन गेंदें बचतीं और उत्तर 2 × (1/4 × 1/3) = 1/6 होता। इसीलिए ऐसे प्रश्न में ‘वापस रख दिया गया’ वाला वाक्य केवल कहानी नहीं होता, वही गणित तय करता है।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (a)1/16 — 1/16 वह उत्तर है जो केवल एक क्रम गिनने पर आता है — मान लीजिए पहले सफेद और फिर लाल। पर प्रश्न स्पष्ट कहता है ‘किसी भी अनुक्रम में’, इसलिए दूसरा क्रम भी उतना ही मान्य है और उसकी संभावना भी उतनी ही है। दोनों को जोड़ने पर उत्तर दुगुना होकर 1/8 हो जाता है। यह चूक इतनी आम है कि प्रश्न-रचयिता प्रायः इसी मान को पहला विकल्प बनाते हैं। बचाव का तरीक़ा यह है कि अनुकूल क्रम गिनकर लिख लिए जाएँ, केवल गुणा न किया जाए।
• (c)1/4 — 1/4 किसी एक निकासी में किसी एक नियत रंग की गेंद आने की संभावना है, दो निकासियों में एक विशेष जोड़े की नहीं। दो स्वतंत्र निकासियों की संभावनाएँ गुणा होती हैं, इसलिए उत्तर 1/4 से काफ़ी छोटा होना चाहिए — यह जाँच अकेले ही इस विकल्प को हटा देती है। यहाँ ध्यान देने की बात यह भी है कि प्रश्न दो विशिष्ट रंगों का जोड़ा माँग रहा है, इसलिए अनुकूल परिणाम सोलह में से केवल दो हैं।
• (d)1/2 — 1/2 इस प्रकार की किसी भी गणना से बहुत बड़ा है। चार रंगों में से दो विशिष्ट रंगों का जोड़ा, वह भी दो निकासियों में, आधे मौक़ों पर नहीं आ सकता। कुल संभव परिणाम 16 हैं और अनुकूल केवल 2, इसलिए संभावना 1/8 ही बनती है। जब भी उत्तर 1/2 जैसा ‘गोल’ दिखे, एक बार कुल परिणामों की गिनती कर लेना चाहिए — संभावना के प्रश्नों में परिमाण की यह मोटी जाँच बहुत काम आती है।

संभावना के इस प्रश्न में तीन विचार एक साथ काम कर रहे हैं।

पहला, प्रतिस्थापन। यदि निकाली गई वस्तु वापस रख दी जाए तो हर निकासी में कुल संख्या और संरचना अपरिवर्तित रहती है, इसलिए घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं और उनकी संभावनाएँ सीधे गुणा हो जाती हैं। यदि वापस न रखी जाए तो दूसरी निकासी की संभावना पहली के परिणाम पर निर्भर हो जाती है और सशर्त संभावना का प्रयोग करना पड़ता है।

दूसरा, अपवर्जी घटनाओं का जोड़। ‘सफेद फिर लाल’ और ‘लाल फिर सफेद’ एक साथ नहीं हो सकते, इसलिए उनकी संभावनाएँ जोड़ी जाती हैं। संभावना में यह मूल भेद है — ‘और’ की स्थिति में गुणा, ‘या’ की स्थिति में जोड़।

तीसरा, क्रम की भूमिका। जब प्रश्न कहे ‘किसी भी अनुक्रम में’, तब अनुकूल व्यवस्थाओं की गिनती करनी पड़ती है। दो भिन्न वस्तुओं के दो क्रम बनते हैं, इसलिए यहाँ गुणक 2 है।

तीनों को एक साथ रखने पर सूत्र बनता है : संभावना = (क्रमों की संख्या) × (प्रत्येक निकासी की संभावनाओं का गुणनफल)।

मुख्य तथ्य

• चार भिन्न रंगों की चार गेंदों में किसी एक नियत रंग के आने की संभावना 1/4 होती है।
• प्रतिस्थापन के कारण दोनों निकासियाँ स्वतंत्र हैं, इसलिए उनकी संभावनाएँ आपस में गुणा होती हैं।
• ‘किसी भी अनुक्रम में’ का अर्थ है दो अनुकूल क्रम, इसलिए उत्तर 2 × (1/4 × 1/4) = 1/8 बनता है।
• गिनती की दृष्टि से कुल परिणाम 4 × 4 = 16 और अनुकूल परिणाम केवल 2 हैं।
• यदि गेंद वापस न रखी जाती तो उत्तर 2 × (1/4 × 1/3) = 1/6 होता — प्रतिस्थापन ही यह अंतर पैदा करता है।
• संभावना में ‘और’ की स्थिति में गुणा और ‘या’ की स्थिति में जोड़ किया जाता है, बशर्ते घटनाएँ क्रमशः स्वतंत्र और अपवर्जी हों।

सामान्य भ्रम

• ‘किसी भी अनुक्रम में’ पढ़कर भी केवल एक क्रम गिनना — इससे उत्तर ठीक आधा रह जाता है।
• प्रतिस्थापन की शर्त अनदेखी कर देना, जिससे दूसरी निकासी का भाजक बदल जाता है और उत्तर 1/6 बन जाता है।
• अंतिम उत्तर के परिमाण की जाँच न करना; दो निश्चित रंगों वाला जोड़ा 1/4 या 1/2 जितना संभावित नहीं हो सकता।

• practice — not a real PYQ

  उसी संदूक से दो क्रमिक निकासियाँ की जाती हैं और गेंद हर बार वापस रख दी जाती है । दोनों बार हरी गेंद आने की संभावना क्या है ?

  • (a)1/16
  • (b)1/8
  • (c)1/4
  • (d)1/2

  उत्तर(a) 1/16

• practice — not a real PYQ

  यदि उसी संदूक से गेंद निकालकर वापस न रखी जाए, तो दो क्रमिक निकासियों में एक सफेद और एक लाल गेंद, किसी भी अनुक्रम में, आने की संभावना क्या होगी ?

  • (a)1/12
  • (b)1/8
  • (c)1/6
  • (d)1/3

  उत्तर(c) 1/6