किसी कक्षा में 20 लड़कियाँ और 30 लड़के हैं, और उनके औसत अंक क्रमशः 55 और 58 हैं । पूरी कक्षा के अंकों का औसत क्या है ?

सही उत्तर — D, (d) 56·8 — यह भारित औसत का सीधा प्रश्न है, और पूरा दाँव इस बात पर है कि दोनों समूहों के आकार अलग हैं।

पूरी कक्षा का औसत निकालने के लिए पहले कुल अंक चाहिए :

लड़कियों के कुल अंक = 20 × 55 = 1100 लड़कों के कुल अंक = 30 × 58 = 1740 कुल अंक = 1100 + 1740 = 2840 कुल विद्यार्थी = 20 + 30 = 50

औसत = 2840 ÷ 50 = 56·8, यानी विकल्प (d)।

बिना बड़ी गुणा किए भी उत्तर तक पहुँचा जा सकता है, और यही तरीक़ा परीक्षा में तेज़ पड़ता है। दोनों औसतों के बीच का अंतर 3 अंक है। लड़के 50 में से 30 हैं, यानी तीन-पाँचवाँ हिस्सा, इसलिए संयुक्त औसत 55 से 58 की ओर उतना ही खिसकेगा :

55 + (3/5) × 3 = 55 + 1·8 = 56·8।

यही जाँच यह भी बता देती है कि उत्तर 56·5 से ऊपर होना ही चाहिए। 56·5 दोनों औसतों का मध्य-बिंदु है और वहीं तब आता जब दोनों समूह बराबर होते; चूँकि बड़ा समूह ऊँचे औसत वाला है, संयुक्त औसत मध्य-बिंदु से ऊपर खिसक जाता है। चारों विकल्पों में से केवल तीन ही मध्य-बिंदु से ऊपर हैं, और उनमें ठीक मान 56·8 है।

छपाई की एक बात : चारों विकल्पों में दशमलव-चिह्न उठा हुआ मध्य-बिंदु है, साधारण पूर्णविराम नहीं — 56·5, 56·6, 56·7, 56·8। यह इस पुस्तिका की शैली है और इसे पूर्णविराम मानकर पढ़ने में कोई अर्थ-भेद नहीं आता।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (a)56·5 — 56·5 ठीक वह संख्या है जो 55 और 58 का सादा औसत लेने पर आती है — (55 + 58) ÷ 2। यही इस प्रश्न का मुख्य जाल है और इसीलिए इसे पहले विकल्प के रूप में रखा गया है। सादा औसत तभी सही होता जब दोनों समूहों में विद्यार्थियों की संख्या बराबर होती; यहाँ लड़कियाँ 20 और लड़के 30 हैं, इसलिए ऊँचे औसत वाले बड़े समूह का खिंचाव अधिक है और संयुक्त औसत मध्य-बिंदु से ऊपर आ जाता है। जब भी दो औसतों को जोड़ना हो, पहला प्रश्न यही होना चाहिए कि दोनों में कितने-कितने सदस्य हैं।
• (b)56·6 — 56·6 दिए गए आँकड़ों से नहीं बनता। यह मान तब आता जब लड़कों का भार वास्तविक भार से कम होता — यानी बड़े समूह का असर कम आँका जाए। ऐसे विकल्प दशमलव के एक-एक अंक की दूरी पर रखे जाते हैं ताकि अनुमान से चुनने वाला फँसे। यहाँ बचाव का उपाय यही है कि खिसकाव को भिन्न के रूप में लिखा जाए : अंतर 3 अंकों का है और लड़के तीन-पाँचवें हैं, इसलिए खिसकाव ठीक 1·8 है, 1·6 नहीं।
• (c)56·7 — 56·7 भी इन्हीं आँकड़ों से नहीं निकलता। कुल अंक 2840 हैं और 50 से भाग देने पर 56·8 ही आता है; 56·7 पाने के लिए कुल अंक 2835 होने चाहिए, जो न लड़कियों के 1100 और लड़कों के 1740 के जोड़ से बनता है, न किसी और संगत संयोजन से। इस प्रकार के प्रश्नों में गणना पूरी करके एक बार कुल योग की जाँच कर लेना सबसे सुरक्षित है, क्योंकि विकल्प जान-बूझकर बहुत पास-पास रखे जाते हैं।

भारित औसत तब लगता है जब कई समूहों के औसत मिलाकर एक समग्र औसत निकालना हो और समूहों का आकार अलग-अलग हो। सूत्र है :

संयुक्त औसत = (n₁ × म₁ + n₂ × म₂) ÷ (n₁ + n₂)

यहाँ n समूह का आकार है और म उसका औसत। ध्यान देने की बात यह है कि औसतों को सीधे जोड़कर दो से भाग नहीं दिया जाता — वह तभी ठीक होता जब दोनों समूह बराबर आकार के हों, यानी सादा औसत भारित औसत की एक विशेष दशा भर है।

एक दूसरा, अधिक तेज़ तरीक़ा भी उपयोगी है, जिसे विचलन-विधि कहा जा सकता है। दोनों औसतों के बीच की दूरी लीजिए और उसे समूहों के अनुपात में बाँटिए : संयुक्त औसत हमेशा उस समूह की ओर अधिक खिसकता है जिसमें सदस्य अधिक हैं। इससे यह भी तुरन्त पता चल जाता है कि उत्तर किस दिशा में होना चाहिए, जो ग़लत विकल्प काटने में तत्काल काम आता है।

यही तर्क आगे चलकर मिश्रण और सम्मिश्रण के प्रश्नों में, तथा सांख्यिकी में समूहीकृत आँकड़ों के माध्य में लौटता है — वहाँ बारंबारता ही भार का काम करती है।

मुख्य तथ्य

• संयुक्त औसत = (n₁ × म₁ + n₂ × म₂) ÷ (n₁ + n₂); समूहों के आकार ही भार का काम करते हैं।
• यहाँ कुल अंक 20 × 55 + 30 × 58 = 2840 और कुल विद्यार्थी 50, इसलिए औसत 56·8 आता है।
• सादा औसत (55 + 58) ÷ 2 = 56·5 केवल तभी सही होता जब दोनों समूहों में बराबर विद्यार्थी होते।
• तेज़ विधि : दोनों औसतों का अंतर 3 अंक है और बड़ा समूह तीन-पाँचवाँ है, इसलिए खिसकाव (3/5) × 3 = 1·8 और उत्तर 55 + 1·8 = 56·8।
• संयुक्त औसत सदा उस समूह की ओर खिसकता है जिसमें सदस्य अधिक हैं — यह दिशा की जाँच का सरल नियम है।

सामान्य भ्रम

• दोनों औसतों का सादा औसत ले लेना — यही 56·5 वाला जाल है, जो केवल बराबर आकार के समूहों पर लागू होता।
• भार उलट देना, यानी लड़कियों की संख्या को लड़कों के औसत से गुणा कर देना।
• अनुमान से दशमलव चुन लेना, जबकि चारों विकल्प एक-एक अंक की दूरी पर रखे गए हैं।

• practice — not a real PYQ

  किसी कक्षा में 25 लड़कों का औसत भार 48 kg और 15 लड़कियों का औसत भार 40 kg है । पूरी कक्षा का औसत भार क्या है ?

  • (a)44 kg
  • (b)45 kg
  • (c)46 kg
  • (d)47 kg

  उत्तर(b) 45 kg

• practice — not a real PYQ

  दो समूहों के औसत क्रमशः 60 और 70 हैं तथा उनमें सदस्यों का अनुपात 3 : 2 है । संयुक्त औसत क्या होगा ?

  • (a)63
  • (b)64
  • (c)65
  • (d)66

  उत्तर(b) 64