अधिकतम 500 अंकों वाले किसी परीक्षा प्रश्न-पत्र में A को B से 10% कम अंक मिले, B को C से 25% अधिक अंक मिले, और C को D से 20% कम अंक मिले । यदि A को 360 अंक मिले, तो D को कितने अंक मिले ?

सही उत्तर — D, (d) 80% — शृंखला को उलटी दिशा में, A से D की ओर खोलिए, और हर चरण पर भाग दीजिए, गुणा नहीं। 'A को B से 10% कम अंक मिले' का अर्थ है A = 0·9 × B, इसलिए B = 360 ÷ 0·9 = 400। 'B को C से 25% अधिक' का अर्थ है B = 1·25 × C, इसलिए C = 400 ÷ 1·25 = 320। 'C को D से 20% कम' का अर्थ है C = 0·8 × D, इसलिए D = 320 ÷ 0·8 = 400। अब अन्तिम चरण, जो इस प्रश्न में सबसे अधिक ध्यान माँगता है: प्रश्न-वाक्य 'D को कितने अंक मिले' पूछता है, पर चारों विकल्प प्रतिशत में छपे हैं — और यही असंगति दोनों स्तंभों में ज्यों की त्यों है। कुंजी उसे इस प्रकार सुलझाती है कि D के 400 अंकों को अधिकतम 500 का प्रतिशत बनाकर देखा जाए: 400 ÷ 500 = 0·80, यानी 80%। इसलिए उत्तर (d) है। अभ्यास की दृष्टि से इसका सबक यही है कि अंक निकालने के बाद उसे विकल्पों की इकाई में बदलना न भूलें। पूरी शृंखला एक बार सारणी में रख लीजिए, क्योंकि प्रश्न किसी भी कड़ी के बारे में पूछ सकता है: A के 360 अंक 500 का 72%, B के 400 अंक 80%, C के 320 अंक 64% और D के 400 अंक 80% हैं। ध्यान देने योग्य बात यह है कि B और D के अंक बराबर निकलते हैं — 25% अधिक और फिर 20% कम एक-दूसरे को ठीक-ठीक काट देते हैं, क्योंकि 1·25 × 0·8 = 1। यही 'क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन' का सबसे उपयोगी उदाहरण है और वह याद रखने लायक़ है: किसी राशि को 25% बढ़ाकर फिर 20% घटाने पर वही राशि लौट आती है, जबकि 20% बढ़ाकर 20% घटाने पर नहीं लौटती।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (a)65% — 65% का अर्थ होता 325 अंक। ध्यान दीजिए कि C के अंक 320 हैं, जो 500 का 64% होता है — इसलिए यह विकल्प लगभग C के ही हिस्से के बराबर है और उसी अभ्यर्थी को खींचता है जो शृंखला C पर ही रोक दे और आगे D तक न जाए। प्रश्न D के बारे में है, और D सबसे ऊपर बैठता है, क्योंकि C उससे 20% कम है।
• (b)70% — 70% का अर्थ होता 350 अंक। यह मान प्रायः तब निकलता है जब हर चरण पर भाग देने के बजाय गुणा कर दिया जाए — 360 में 10% जोड़ो, फिर 25% घटाओ, फिर 20% जोड़ो — जिससे लगभग साढ़े इकहत्तर प्रतिशत के आसपास का मान आ जाता है। 'इससे इतने प्रतिशत कम' कहने पर तुलना का आधार वह दूसरा व्यक्ति होता है, इसलिए उसे निकालने के लिए भाग देना पड़ता है।
• (c)75% — 75% का अर्थ होता 375 अंक, और यह इस प्रश्न का सबसे साफ़ जाल है। यह ठीक उस दशा में आता है जब 'B को C से 25% अधिक' को उलटकर 'C को B से 25% कम' पढ़ लिया जाए: तब C = 400 × 0·75 = 300 और D = 300 ÷ 0·8 = 375, यानी 75%। पर 25% अधिक होने का आधार C है, B नहीं — इसीलिए C 300 नहीं, 320 निकलता है।

प्रतिशत की शृंखला वाले प्रश्नों का पूरा खेल इस बात पर है कि तुलना का आधार कौन है। 'X को Y से p प्रतिशत कम' का अर्थ है X = Y × (1 − p), इसलिए Y निकालने के लिए X में भाग देना पड़ता है, गुणा नहीं; और 'X को Y से p प्रतिशत अधिक' का अर्थ है X = Y × (1 + p), जिससे Y = X ÷ (1 + p)। यही कारण है कि किसी राशि को p प्रतिशत घटाकर फिर p प्रतिशत बढ़ाने से मूल राशि वापस नहीं मिलती — दोनों बार आधार अलग होता है। इससे एक और उपयोगी परिणाम निकलता है: क्रमिक परिवर्तन जोड़े नहीं जाते, गुणा किए जाते हैं, इसलिए 25% वृद्धि और 20% कमी का संयुक्त प्रभाव 1·25 × 0·8 = 1 होता है, यानी शून्य परिवर्तन। ऐसे प्रश्नों में सबसे सुरक्षित रीति यह है कि शृंखला के हर सदस्य का मान निकालकर एक पंक्ति में लिख लिया जाए, फिर जो पूछा गया हो वही उठाया जाए।

मुख्य तथ्य

• A = 360 अंक दिए गए हैं; A = 0·9 × B होने से B = 360 ÷ 0·9 = 400 अंक।
• B = 1·25 × C होने से C = 400 ÷ 1·25 = 320 अंक, और C = 0·8 × D होने से D = 320 ÷ 0·8 = 400 अंक।
• D के 400 अंक अधिकतम 500 का 80% हैं; इसी शृंखला में A का हिस्सा 72%, B का 80% और C का 64% पड़ता है।
• 'p प्रतिशत कम' या 'p प्रतिशत अधिक' का आधार सदैव वह राशि होती है जिससे तुलना की जा रही है, इसलिए उलटी दिशा में भाग देना पड़ता है।
• क्रमिक परिवर्तन गुणा से जुड़ते हैं — 1·25 × 0·8 = 1, इसीलिए यहाँ B और D के अंक बराबर निकलते हैं।

सामान्य भ्रम

• 'B को C से 25% अधिक' को 'C को B से 25% कम' पढ़ लेना — आधार बदलते ही C का मान 320 से 300 हो जाता है और पूरा उत्तर बदल जाता है।
• उत्तर अंकों में निकालकर वहीं रुक जाना, जबकि विकल्प प्रतिशत में हैं।
• क्रमिक प्रतिशत परिवर्तनों को जोड़ देना, जबकि वे गुणा से जुड़ते हैं।

• practice — not a real PYQ

  किसी परीक्षा में A को B से 20% कम अंक मिले । यदि A को 320 अंक मिले, तो B को कितने अंक मिले ?

  • (a)360
  • (b)384
  • (c)400
  • (d)420

  उत्तर(c) 400 — A = 0·8 × B होने से B = 320 ÷ 0·8 = 400; 320 में 20% जोड़ने पर 384 आता है, जो इसी प्रश्न का सबसे आम जाल है।