यदि किसी वृत्त की त्रिज्या को 50% घटा दिया जाए, तो उसका क्षेत्रफल कितने प्रतिशत घट जाएगा ?

सही उत्तर — D, (d) 75% — वृत्त का क्षेत्रफल πr² है, अर्थात् वह त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती है, और यही एक बात पूरा प्रश्न तय कर देती है। त्रिज्या 50% घटाने का अर्थ है नई त्रिज्या r/2। नया क्षेत्रफल π(r/2)² = πr²/4 हुआ, यानी पुराने का केवल एक-चौथाई। इसलिए कमी = 1 − 1/4 = 3/4, अर्थात् 75%। संख्याओं से देखना हो तो त्रिज्या 10 लीजिए: क्षेत्रफल 100π; त्रिज्या 5 करने पर क्षेत्रफल 25π; कमी 75π, जो 100π का 75% है। सामान्य नियम भी याद रखने योग्य है — किसी लम्बीय माप में k गुना परिवर्तन होने पर क्षेत्रफल k² गुना और आयतन k³ गुना बदलता है। इसी नियम का सामान्य रूप याद रखने योग्य है, क्योंकि परीक्षा इसे बार-बार दोहराती है: यदि कोई लम्बीय माप p प्रतिशत बदले, तो क्षेत्रफल में परिवर्तन [(1 + p/100)² − 1] × 100 प्रतिशत होता है। यहाँ p = −50 है, इसलिए (0·5)² − 1 = −0·75, अर्थात् 75% की कमी। यही सूत्र वृद्धि की दिशा में भी चलता है — भुजा 10% बढ़े तो क्षेत्रफल 21% बढ़ता है, 20% बढ़े तो 44%। और यदि प्रश्न आयतन का हो तो घात तीन हो जाती है: त्रिज्या आधी करने पर गोले या बेलन का आयतन आठवाँ भाग रह जाता है, अर्थात् 87·5% की कमी।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (a)30% — 30% किसी भी गणना से नहीं निकलता — न त्रिज्या से, न परिधि से, न क्षेत्रफल से। यह विकल्प केवल सूची के निचले सिरे को भरने के लिए है; त्रिज्या आधी करने पर क्षेत्रफल की कमी इससे कहीं अधिक होती है।
• (b)50% — 50% इस प्रश्न का मुख्य जाल है, क्योंकि वही संख्या प्रश्न में भी आई है और लम्बीय बुद्धि सीधे यही सुझाती है। पर 50% की कमी परिधि में होती है, क्षेत्रफल में नहीं — परिधि 2πr है, जो त्रिज्या के साथ सीधे बदलती है, जबकि क्षेत्रफल त्रिज्या के वर्ग के साथ। यही भेद इस प्रश्न की पूरी परीक्षा है।
• (c)60% — 60% भी किसी सुसंगत रीति से नहीं आता। ध्यान दीजिए कि नया क्षेत्रफल पुराने का ठीक एक-चौथाई है, और एक-चौथाई बचने का अर्थ तीन-चौथाई कमी है — यह अंश किसी अनुमान की गुंजाइश नहीं छोड़ता।

क्षेत्रमिति के प्रतिशत-परिवर्तन वाले प्रश्नों का एक ही नियम है: लम्बीय माप k गुनी हो तो क्षेत्रफल k² गुना और आयतन k³ गुना हो जाता है। इसका कारण सूत्रों में छिपी घात है — परिधि और परिमाप में त्रिज्या या भुजा की घात एक होती है, क्षेत्रफल में दो और आयतन में तीन। इसलिए किसी माप में हुआ परिवर्तन क्षेत्रफल में सदैव बड़ा दिखता है और आयतन में उससे भी बड़ा, चाहे वह वृद्धि हो या कमी। समरूप आकृतियों में भी यही नियम लागू होता है: दो समरूप आकृतियों की भुजाओं का अनुपात a : b हो तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात a² : b² और आयतनों का a³ : b³ होगा। इस एक नियम से क्षेत्रमिति के प्रतिशत वाले लगभग सारे प्रश्न बिना सूत्र लिखे हल हो जाते हैं — केवल यह देखना पड़ता है कि जिस राशि की बात हो रही है उसमें माप की घात कितनी है।

मुख्य तथ्य

• वृत्त का क्षेत्रफल πr² और परिधि 2πr — त्रिज्या की घात क्रमशः दो और एक है, और यही सारा अन्तर पैदा करती है।
• त्रिज्या आधी करने पर क्षेत्रफल एक-चौथाई रह जाता है, अर्थात् 75% की कमी होती है।
• उसी दशा में परिधि ठीक आधी होती है, यानी 50% की कमी — इसीलिए 50% इस प्रश्न का सबसे आकर्षक ग़लत विकल्प है।
• सामान्य सूत्र — लम्बीय माप p प्रतिशत बदले तो क्षेत्रफल में परिवर्तन [(1 + p/100)² − 1] × 100 प्रतिशत होता है।
• आयतन में घात तीन होती है, इसलिए त्रिज्या आधी करने पर आयतन आठवाँ भाग रह जाता है, अर्थात् 87·5% की कमी।

सामान्य भ्रम

• क्षेत्रफल की कमी को लम्बीय कमी के बराबर मान लेना — यह वही 50% वाला जाल है जो प्रश्न में ही रखा गया है।
• 'कितने प्रतिशत घटेगा' और 'कितना बचेगा' में उलझ जाना — यहाँ बचता एक-चौथाई है और घटता तीन-चौथाई।
• क्षेत्रफल और आयतन की घात मिला देना, जिससे 75% की जगह 87·5% या उलटा उत्तर आ जाता है।

• practice — not a real PYQ

  यदि किसी वर्ग की भुजा 20% बढ़ा दी जाए, तो उसका क्षेत्रफल कितने प्रतिशत बढ़ेगा ?

  • (a)40%
  • (b)42%
  • (c)44%
  • (d)48%

  उत्तर(c) 44% — भुजा 1·2 गुनी होने पर क्षेत्रफल 1·2 × 1·2 = 1·44 गुना हो जाता है, अर्थात् 44% की वृद्धि।