यदि 5 पुरुष और 9 स्त्रियाँ किसी कार्य को 19 दिनों में पूरा कर सकते हैं, तो 3 पुरुष और 6 स्त्रियाँ उसी कार्य को कितने दिनों में पूरा करेंगे ?

इस प्रश्नांश को आयोग ने अपनी अन्तिम कुंजी में निरस्त कर दिया, इसलिए इसका कोई विकल्प मान्य नहीं है और यहाँ कोई उत्तर नहीं दिया जा रहा। कुंजी में इस प्रश्नांश की संख्या और उसका उत्तर-अक्षर दोनों काट दिए गए हैं, और कुंजी के मुख पर दर्ज है कि एक प्रश्नांश हटाकर शेष एक सौ उन्नीस ही गिने गए। छपी हुई पुस्तिका में ऐसा कोई चिह्न नहीं है — प्रश्नांश अपने पड़ोसियों की तरह ही छपा है और परीक्षा-कक्ष में अभ्यर्थी ने उसे सामान्य प्रश्न की तरह ही हल किया।

विषय-वस्तु समझ लेना फिर भी आवश्यक है, क्योंकि कार्य और समय पर प्रश्न हर वर्ष आते हैं। यहाँ एक पुरुष का एक दिन का कार्य m और एक स्त्री का w मानिए। दी गई सूचना केवल इतनी है कि (5m + 9w) × 19 = 1 कार्य। जो पूछा गया है वह है 1 ÷ (3m + 6w), यानी 19 × (5m + 9w) ÷ (3m + 6w)। ध्यान दीजिए कि यह मान m और w के अनुपात पर निर्भर करता है, और वह अनुपात प्रश्न में कहीं दिया ही नहीं गया — इसलिए एक समीकरण से दो अज्ञात राशियाँ तय नहीं हो सकतीं और समय का कोई एक निश्चित मान निकलता ही नहीं। फिर भी सीमाएँ निकाली जा सकती हैं: अनुपात m/w चाहे शून्य के पास हो या बहुत बड़ा, यह व्यंजक साढ़े अट्ठाईस दिन और लगभग इकतीस दो-तिहाई दिन के बीच ही रहता है।

इससे भी सरल एक बात इस प्रश्नांश के बारे में सब कुछ कह देती है: दूसरा दल पहले दल से हर तरह से छोटा है — पुरुष पाँच से घटकर तीन और स्त्रियाँ नौ से घटकर छह। कम काम करने वाले उसी कार्य को कम समय में पूरा नहीं कर सकते, इसलिए उत्तर उन्नीस दिन से अधिक ही होना चाहिए, जबकि छपे हुए चारों मान उन्नीस से कम हैं।

सीखने योग्य रीति यह है कि ऐसे प्रश्नों में दो भिन्न संयोजनों के समय दिए जाने चाहिए — जैसे '5 पुरुष और 9 स्त्रियाँ 19 दिनों में' के साथ '3 पुरुष और 5 स्त्रियाँ इतने दिनों में' — तभी दो समीकरणों से m और w का अनुपात निकलता है और तीसरे संयोजन का समय तय हो पाता है।

कार्य और समय के प्रश्नों का आधार यह है कि कार्य को एक इकाई मानकर हर व्यक्ति की एक दिन की कार्य-दर लिखी जाए। यदि कोई अकेला किसी काम को d दिनों में पूरा करता है तो उसकी एक दिन की दर 1/d होती है; कई लोग साथ काम करें तो उनकी दरें जुड़ जाती हैं और कुल समय जुड़ी हुई दर का व्युत्क्रम होता है। एक ही प्रकार के कामगारों वाले प्रश्न इसी से हल हो जाते हैं, और उनका सुविधाजनक रूप M1 × D1 = M2 × D2 है, जो कहता है कि कामगारों की संख्या और दिनों का गुणनफल अचर रहता है। पर जब दो अलग-अलग प्रकार के कामगार हों — जैसे पुरुष और स्त्री — तब अज्ञात राशियाँ दो हो जाती हैं, और दो अज्ञात के लिए दो स्वतंत्र समीकरण चाहिए। एक ही समीकरण से उनका अनुपात तय नहीं होता, इसलिए कोई नया संयोजन कितने दिन लेगा, यह भी तय नहीं होता।

मुख्य तथ्य

• एक दिन की कार्य-दर = कुल कार्य ÷ लगने वाले दिन; कई कामगार साथ हों तो उनकी दरें जुड़ती हैं और समय जुड़ी हुई दर का व्युत्क्रम होता है।
• एक ही प्रकार के कामगारों के लिए M1 × D1 = M2 × D2 चलता है, अर्थात् कामगारों की संख्या और दिनों का गुणनफल अचर रहता है।
• यहाँ दी गई सूचना केवल एक समीकरण देती है — (5m + 9w) × 19 = 1 — जबकि अज्ञात दो हैं, पुरुष की दर m और स्त्री की दर w।
• पूछा गया समय 19 × (5m + 9w) ÷ (3m + 6w) है, और यह मान m तथा w के अनुपात के साथ बदलता रहता है, इसलिए किसी एक संख्या पर स्थिर नहीं होता।
• दूसरे दल में पुरुष पाँच से घटकर तीन और स्त्रियाँ नौ से घटकर छह हैं, इसलिए उसका समय उन्नीस दिन से अधिक ही होगा — कम कामगार कभी कम समय नहीं लेते।
• अनुपात कुछ भी हो, वह समय साढ़े अट्ठाईस दिन और लगभग इकतीस दो-तिहाई दिन के बीच ही रहता है।

सामान्य भ्रम

• कामगार घटने पर भी समय घटा हुआ मान लेना — कम कामगार सदैव अधिक समय लेते हैं, और यही जाँच ऐसे प्रश्नों में सबसे सस्ती पड़ती है।
• दो प्रकार के कामगारों की क्षमता चुपचाप बराबर मान लेना, जबकि अनुपात दिया ही न गया हो।
• कामगारों की संख्या और दिनों को समानुपाती मान लेना, जबकि वे व्युत्क्रमानुपाती होते हैं।

• practice — not a real PYQ

  यदि 6 पुरुष किसी कार्य को 12 दिनों में पूरा कर सकते हैं, तो 9 पुरुष उसी कार्य को कितने दिनों में पूरा करेंगे ?

  • (a)6 दिन
  • (b)8 दिन
  • (c)9 दिन
  • (d)10 दिन

  उत्तर(b) 8 दिन — कुल कार्य 6 × 12 = 72 पुरुष-दिन का है, इसलिए 72 ÷ 9 = 8 दिन।

• practice — not a real PYQ

  यदि 2 पुरुष और 3 स्त्रियाँ किसी कार्य को 10 दिनों में पूरा कर सकते हैं, तो 4 पुरुष और 6 स्त्रियाँ उसी कार्य को कितने दिनों में पूरा करेंगे ?

  • (a)4 दिन
  • (b)5 दिन
  • (c)6 दिन
  • (d)7 दिन

  उत्तर(b) 5 दिन — दूसरा दल पहले दल का ठीक दुगुना है, इसलिए उसकी संयुक्त कार्य-दर दुगुनी और समय आधा हो जाता है; यहाँ अनुपात जाने बिना भी उत्तर निकल आता है क्योंकि दोनों प्रकार के कामगार एक ही गुणक से बढ़े हैं।