किसी रात्रिभोज में, प्रत्येक दो अतिथियों के बीच चावल का एक कटोरा, प्रत्येक तीन अतिथियों के बीच दाल का एक कटोरा और प्रत्येक चार अतिथियों के बीच दही का एक कटोरा उपयोग में लाया जा रहा है । वहाँ कुल मिलाकर 65 कटोरे हैं । उस रात्रिभोज में उपस्थित अतिथियों की संख्या क्या है ?

सही उत्तर — D, (d) 60 — अतिथियों की संख्या n मान लीजिए। हर दो अतिथियों पर चावल का एक कटोरा, इसलिए चावल के कटोरे n/2; हर तीन पर दाल का एक, इसलिए n/3; और हर चार पर दही का एक, इसलिए n/4। कुल कटोरे 65 हैं, अतः n/2 + n/3 + n/4 = 65। बायीं ओर का लघुतम समापवर्त्य 12 है, इसलिए (6n + 4n + 3n)/12 = 65, यानी 13n/12 = 65 और n = 60। जाँच कर लीजिए — 30 + 20 + 15 = 65, ठीक वही संख्या। एक कदम इस प्रश्न को गणना से पहले ही तय कर देता है: कटोरे पूरे-पूरे होने चाहिए, इसलिए n को 2, 3 और 4 तीनों से पूरा-पूरा बँटना चाहिए, अर्थात् वह 12 का गुणज होना चाहिए — और चारों विकल्पों में केवल एक ही संख्या 12 से बँटती है। इसी हल को उलटी दिशा से देखिए तो एक और उपयोगी बात मिलती है: कटोरों और अतिथियों का अनुपात 13 : 12 स्थिर है, यानी हर बारह अतिथियों पर तेरह कटोरे लगते हैं। इससे बड़े अंकों वाले ऐसे प्रश्न बिना समीकरण के ही हल हो जाते हैं — कटोरे दिए हों तो उन्हें 12/13 से गुणा कर दीजिए और अतिथि दिए हों तो 13/12 से। यही कारण है कि कटोरों की संख्या सदैव तेरह का गुणज होनी चाहिए; 65 ठीक तेरह का गुणज है, और यह भी एक जाँच है कि प्रश्न के अंक आपस में मेल खाते हैं।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (a)90 — 90 पर कुल कटोरे 13 × 90 ÷ 12 = 97·5 बनते हैं, जो 65 से कहीं अधिक हैं और पूरी संख्या भी नहीं। 90 चार से पूरा नहीं बँटता, इसलिए दही के कटोरे आधे-अधूरे पड़ जाते हैं — यही इस विकल्प को पहली ही जाँच में बाहर कर देता है।
• (b)80 — 80 पर कुल कटोरे लगभग 86·7 बैठते हैं। 80 तीन से पूरा नहीं बँटता, इसलिए दाल के कटोरों की संख्या पूर्णांक नहीं रहती। यह विकल्प उन्हें फँसाता है जो केवल एक ही शर्त — मान लीजिए दो से विभाज्यता — देखकर आगे बढ़ जाते हैं।
• (c)70 — 70 पर कुल कटोरे लगभग 75·8 आते हैं। यह संख्या न तीन से बँटती है न चार से, इसलिए दो में से दो गिनतियाँ टूट जाती हैं। ध्यान दीजिए कि कुल कटोरे अतिथियों की संख्या के लगभग 1·08 गुने होते हैं, इसलिए 65 कटोरों के लिए अतिथि 60 के आसपास ही होने चाहिए।

'हर इतने व्यक्तियों पर एक' वाली भाषा सीधे भिन्न में बदल जाती है — हर k व्यक्तियों पर एक वस्तु का अर्थ है n/k वस्तुएँ, जहाँ n व्यक्तियों की कुल संख्या है। तीनों भिन्नों को जोड़कर दी गई कुल संख्या के बराबर रख देने से एक चर वाला समीकरण बन जाता है, और लघुतम समापवर्त्य से गुणा करते ही वह सरल हो जाता है। ऐसे प्रश्नों में एक और औज़ार बहुत काम आता है — विभाज्यता की जाँच। चूँकि वस्तुओं की संख्या पूर्णांक होनी चाहिए, इसलिए n को उन सभी संख्याओं से पूरा-पूरा बँटना चाहिए जिनसे भाग दिया जा रहा है, अर्थात् वह उनका कोई सार्व गुणज होगा। यह शर्त प्रायः विकल्पों में से तीन को गणना से पहले ही काट देती है, और शेष एक की जाँच सीधे प्रतिस्थापन से हो जाती है।

मुख्य तथ्य

• समीकरण — n/2 + n/3 + n/4 = 65, जिसे 12 से गुणा करने पर 13n = 780 और n = 60 मिलता है।
• अतिथि 60 होने पर कटोरे — चावल 30, दाल 20 और दही 15; कुल 65, जो प्रश्न की शर्त से ठीक मेल खाता है।
• कटोरों की संख्या पूर्णांक रहने के लिए n का 2, 3 और 4 तीनों से बँटना आवश्यक है, अर्थात् उसे 12 का गुणज होना चाहिए।
• कटोरों और अतिथियों का अनुपात 13 : 12 स्थिर रहता है, इसलिए कुल कटोरे सदैव तेरह के गुणज होंगे।
• 'प्रत्येक k व्यक्तियों के बीच एक' का अर्थ है n/k वस्तुएँ — यही भाषा से भिन्न तक का अनुवाद पूरे प्रश्न की कुंजी है।

सामान्य भ्रम

• तीनों गिनतियाँ जोड़ना भूलकर किसी एक वस्तु पर ही समीकरण बना लेना।
• विभाज्यता की शर्त छोड़ देना, जिससे पूर्णांक न देने वाले विकल्प भी संभव लगने लगते हैं।
• 'प्रत्येक दो अतिथियों के बीच एक कटोरा' को 'प्रत्येक अतिथि के लिए दो कटोरे' पढ़ लेना, जिससे भिन्न उलटी बैठ जाती है।

• practice — not a real PYQ

  किसी भोज में प्रत्येक तीन अतिथियों के बीच चावल का एक कटोरा और प्रत्येक पाँच अतिथियों के बीच खीर का एक कटोरा उपयोग में लाया गया । कुल 40 कटोरे थे । अतिथियों की संख्या क्या थी ?

  • (a)60
  • (b)70
  • (c)75
  • (d)80

  उत्तर(c) 75 — n/3 + n/5 = 40 से 8n/15 = 40, इसलिए n = 75; जाँच — 25 + 15 = 40 कटोरे।