खुले मैदान में एक आयताकार भूखण्ड ABCD की मूल स्थिति यह है कि AB के अनुदिश मैदान की लम्बाई 80 m है, और BC के अनुदिश मैदान की चौड़ाई 60 m है । भूखण्ड के अन्दर उसकी भुजाओं के चारों तरफ कंक्रीट की पगडंडियाँ बनाई जानी हैं । BC और DA प्रत्येक के अनुदिश पगडंडी 4 m चौड़ी है । AB और DC के अनुदिश पगडंडियाँ आपस में इस प्रकार बराबर की चौड़ाई की होंगी कि बिना-कंक्रीट वाले आन्तरिक भूखण्ड की माप, ABCD भूखण्ड के मूल क्षेत्रफल की तीन-चौथाई रहे । AB और DC प्रत्येक के अनुदिश पगडंडियों की चौड़ाई क्या होगी ?

सही उत्तर — C, (c) 5 m — इस प्रश्न के साथ कोई चित्र नहीं छपा है, पूरी ज्यामिति शब्दों में ही दी गई है, इसलिए पहला काम भुजाओं को ठीक-ठीक बैठाना है। भूखण्ड ABCD में AB के अनुदिश लम्बाई 80 m और BC के अनुदिश चौड़ाई 60 m है, अतः मूल क्षेत्रफल 80 × 60 = 4800 वर्ग मीटर। अब निर्णायक बात: जो पगडंडी BC के अनुदिश बनती है वह BC के समान्तर चलती है और उसकी चौड़ाई AB वाली दिशा में नापी जाती है। BC और DA दोनों ओर 4-4 m की पगडंडियाँ मिलकर 80 m वाली दिशा में से 8 m खा जाती हैं, इसलिए भीतरी लम्बाई 80 − 8 = 72 m बचती है। इसी तरह AB और DC के अनुदिश x-x चौड़ी पगडंडियाँ 60 m वाली दिशा में से 2x घटा देंगी, इसलिए भीतरी चौड़ाई (60 − 2x) होगी। शर्त है कि भीतरी क्षेत्रफल मूल का तीन-चौथाई, यानी 3600 वर्ग मीटर रहे: 72 × (60 − 2x) = 3600, इसलिए 60 − 2x = 50 और x = 5। उत्तर की जाँच पगडंडियों के क्षेत्रफल से भी हो जाती है: कुल क्षेत्रफल 4800 में से भीतरी 3600 घटाने पर पगडंडियों का क्षेत्रफल 1200 वर्ग मीटर बचता है, और यही मान सीधे भी निकाला जा सकता है — दो पगडंडियाँ 60 × 4 की, दो 80 × 5 की, और चारों कोनों पर पड़ने वाले चार आयत दुबारा गिने जाने के कारण घटाने पड़ते हैं: 480 + 800 − 4 × 20 = 1200। दोनों रास्तों का एक ही उत्तर आना यह भी दिखा देता है कि कोनों वाली दोहरी गिनती कहाँ बनती है, और वही चूक क्षेत्रफल पूछे जाने वाले प्रश्नों में सबसे अधिक होती है।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (a)3 m — 3 m लेने पर भीतरी माप 72 × 54 = 3888 वर्ग मीटर बनती है, जो मूल क्षेत्रफल का 81% है, तीन-चौथाई नहीं। पगडंडी जितनी सँकरी होगी, बिना-कंक्रीट वाला भाग उतना ही बड़ा बचेगा, इसलिए यह मान शर्त से कम कटौती करता है।
• (b)4 m — 4 m देखकर चुन लेने की स्वाभाविक इच्छा होती है, क्योंकि दूसरी दिशा की पगडंडियाँ इतनी ही चौड़ी हैं — पर प्रश्न कहीं नहीं कहता कि चारों पगडंडियाँ बराबर हों; वह केवल यह कहता है कि AB और DC वाली दोनों आपस में बराबर हों। 4 m पर भीतरी क्षेत्रफल 72 × 52 = 3744 वर्ग मीटर, यानी 78% रह जाता है।
• (d)6 m — 6 m लेने पर भीतरी क्षेत्रफल 72 × 48 = 3456 वर्ग मीटर होता है, जो मूल का 72% है — तीन-चौथाई से कम। यहीं यह भी दिख जाता है कि उत्तर 4 और 6 के बीच ही कहीं होगा, और वह ठीक 5 पर बैठता है।

भीतर की ओर बनी पगडंडी वाले प्रश्नों में एक ही सावधानी काम आती है: हर पगडंडी अपनी लम्बाई के लम्बवत् दिशा में से जगह खाती है, और आमने-सामने की दो पगडंडियाँ मिलकर उस दिशा में से दुगुनी जगह घटाती हैं। इसलिए भीतरी आयत की भुजाएँ (लम्बाई − 2 × एक चौड़ाई) और (चौड़ाई − 2 × दूसरी चौड़ाई) होती हैं। यदि पगडंडी बाहर की ओर बनी हो तो वही चौड़ाइयाँ जुड़ जाती हैं, घटती नहीं — यही दोनों रूपों का अन्तर है। पगडंडियों का क्षेत्रफल निकालने के दो रास्ते हैं: बड़े आयत में से भीतरी आयत घटा दीजिए, या हर पगडंडी का क्षेत्रफल अलग-अलग जोड़कर कोनों पर दो बार गिने गए आयत घटा दीजिए। पहला रास्ता छोटा है, दूसरा यह दिखा देता है कि कोने कहाँ दुहरे पड़ते हैं।

मुख्य तथ्य

• मूल क्षेत्रफल = 80 × 60 = 4800 वर्ग मीटर, और उसका तीन-चौथाई = 3600 वर्ग मीटर, जो बिना-कंक्रीट वाले भीतरी भूखण्ड को मिलना है।
• BC और DA के अनुदिश 4-4 m चौड़ी पगडंडियाँ 80 m वाली दिशा में से 8 m खाती हैं, इसलिए भीतरी लम्बाई 72 m रह जाती है।
• AB और DC के अनुदिश x-x चौड़ी पगडंडियों से भीतरी चौड़ाई (60 − 2x) होती है, और 72 × (60 − 2x) = 3600 से x = 5 निकलता है।
• पगडंडियों का कुल क्षेत्रफल = 4800 − 3600 = 1200 वर्ग मीटर, जिसकी जाँच अलग-अलग जोड़कर और कोनों के चार आयत घटाकर भी होती है।
• बाहर की ओर बनी पगडंडी में चौड़ाइयाँ जुड़ती हैं और भीतर की ओर बनी में घटती हैं — यही दोनों रूपों का एकमात्र अन्तर है।

सामान्य भ्रम

• चारों पगडंडियों को बराबर चौड़ाई का मान लेना, जबकि प्रश्न केवल आमने-सामने वाली दो जोड़ियों को आपस में बराबर कहता है।
• पगडंडी की चौड़ाई उसी दिशा में घटा देना जिस दिशा में वह चलती है — कटौती सदैव लम्बवत् दिशा में होती है।
• पगडंडियों का क्षेत्रफल अलग-अलग जोड़ते समय कोनों पर पड़ने वाले आयत दो बार गिन लेना।

• practice — not a real PYQ

  50 m लम्बे और 40 m चौड़े किसी आयताकार भूखण्ड के भीतर, उसकी चारों भुजाओं के साथ-साथ 2 m चौड़ा रास्ता बनाया जाता है । बिना रास्ते वाले भीतरी भाग का क्षेत्रफल क्या होगा ?

  • (a)1656 वर्ग मीटर
  • (b)1700 वर्ग मीटर
  • (c)1800 वर्ग मीटर
  • (d)1840 वर्ग मीटर

  उत्तर(a) 1656 वर्ग मीटर — भीतरी भुजाएँ 50 − 4 = 46 m और 40 − 4 = 36 m, इसलिए क्षेत्रफल 46 × 36 = 1656 वर्ग मीटर।