यह पाया गया कि कोई किराना दुकानदार ₹ 32/kg वाला 25 kg चावल और ₹ 35/kg वाला 20 kg चावल मिला कर इस मिश्रित चावल को 15% लाभ पर बेचता है । इस मिश्रित चावल की बिक्री कीमत क्या है ?

सही उत्तर — B, (b) ₹ 38·33/kg — हल दो चरणों का है और पहला चरण ही निर्णायक है: मिश्रण का क्रय-मूल्य भारित औसत से निकलता है, दोनों दरों के सादे औसत से नहीं। कुल लागत = 25 × 32 + 20 × 35 = 800 + 700 = ₹ 1500, और कुल मात्रा = 25 + 20 = 45 kg, इसलिए मिश्रण का क्रय-मूल्य 1500 ÷ 45 = ₹ 33·33 प्रति kg (ठीक-ठीक 100/3)। दूसरा चरण सरल है — 15% लाभ पर बेचने का अर्थ है क्रय-मूल्य का 1·15 गुना, अर्थात् (100/3) × 1·15 = 115/3 = ₹ 38·33 प्रति kg। ध्यान रहे कि सस्ती किस्म 25 kg है और महँगी 20 kg, इसलिए भारित औसत 33·5 से कुछ नीचे, सस्ती दर की ओर खिसका हुआ रहता है। एक बात और — इस प्रश्न के विकल्प आरोही क्रम में नहीं छपे हैं, इसलिए स्थान देखकर अनुमान लगाना यहाँ काम नहीं करता। एक जाँच जो कुछ ही सेकंड लेती है और चारों विकल्पों को एक साथ परख लेती है: हर विकल्प को क्रय-मूल्य 33·33 से भाग दीजिए और देखिए कि लाभ कितने प्रतिशत बनता है। 35·40 पर लगभग 6%, 36·50 पर लगभग 9·5%, 37·42 पर लगभग 12·3% और 38·33 पर ठीक 15% — केवल अन्तिम मान प्रश्न की शर्त पूरी करता है। यह रीति मिश्रण के हर प्रश्न में काम आती है, क्योंकि उसमें दूसरा चरण सदैव एक ही गुणा का होता है। और यदि कभी क्रय-मूल्य भिन्न में आए, जैसे यहाँ 100/3, तो उसे दशमलव में बदलने से पहले ही गुणा कर लीजिए — 115/3 सीधा और शुद्ध उत्तर देता है।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (a)₹ 35·40/kg — ₹ 35·40 प्रति kg बेचने का अर्थ होता कि लाभ केवल लगभग 6% रहा, क्योंकि क्रय-मूल्य ₹ 33·33 है। प्रश्न 15% लाभ कहता है, इसलिए विक्रय-मूल्य क्रय-मूल्य से ठीक 1·15 गुना होना चाहिए। यह विकल्प सबसे नीचे का मान है और वही अभ्यर्थी चुनता है जो लाभ जोड़ना ही भूल जाए या बहुत कम जोड़े।
• (c)₹ 36·50/kg — ₹ 36·50 पर लाभ लगभग 9·5% बैठता है, 15% नहीं। यह मान 32 और 35 के आसपास ही रहता है, इसलिए देखने में विश्वसनीय लगता है — पर लाभ की दर जाँचते ही कट जाता है। जाँच का सबसे तेज़ तरीक़ा यही है कि हर विकल्प को 33·33 से भाग देकर देख लीजिए कि लाभ कितने प्रतिशत बनता है।
• (d)₹ 37·42/kg — ₹ 37·42 पर लाभ लगभग 12·3% होता है, जो 15% के पास तो है पर बराबर नहीं। यह विकल्प उन्हें फँसाता है जो गणना पूरी किए बिना 'लगभग इतना ही होगा' मानकर आगे बढ़ जाते हैं। ठीक-ठीक मान 115/3 है, और वही 38·33 पर आता है।

मिश्रण के प्रश्नों में क्रय-मूल्य सदैव भारित औसत होता है — कुल लागत को कुल मात्रा से भाग देकर — और सादा औसत केवल तभी सही आता है जब दोनों मात्राएँ बराबर हों। भारित औसत की एक उपयोगी विशेषता यह है कि वह सदैव उस दर की ओर खिसका रहता है जिसकी मात्रा अधिक है; यहाँ सस्ती किस्म 25 kg और महँगी 20 kg है, इसलिए औसत 33·5 से नीचे, 33·33 पर बैठता है। यही बात एलिगेशन के नियम का आधार भी है, जिसमें दोनों दरों की औसत से दूरी का उलटा अनुपात ही मात्राओं का अनुपात बताता है। मिश्रण के प्रश्न का दूसरा चरण सामान्य लाभ-हानि का होता है, और वहाँ ध्यान इतना ही रखना है कि प्रतिशत उसी भारित क्रय-मूल्य पर लगे, किसी एक किस्म की दर पर नहीं।

मुख्य तथ्य

• भारित औसत क्रय-मूल्य = कुल लागत ÷ कुल मात्रा = (25 × 32 + 20 × 35) ÷ 45 = 1500 ÷ 45 = ₹ 33·33 प्रति kg।
• 15% लाभ पर विक्रय-मूल्य = क्रय-मूल्य × 1·15; भिन्न में रखने पर (100/3) × (115/100) = 115/3।
• ठीक-ठीक मान — क्रय-मूल्य 100/3 और विक्रय-मूल्य 115/3, अर्थात् ₹ 38·33 प्रति kg।
• भारित औसत सदैव उस दर की ओर खिसकता है जिसकी मात्रा अधिक हो; यहाँ सस्ती किस्म अधिक है, इसलिए औसत 33·5 से नीचे है।
• एलिगेशन के नियम में दोनों दरों की औसत से दूरी का उलटा अनुपात ही मात्राओं का अनुपात बताता है।

सामान्य भ्रम

• दोनों दरों का सादा औसत ले लेना, जबकि मात्राएँ बराबर नहीं हैं और भारित औसत ही सही है।
• विकल्पों को आरोही क्रम में मानकर बीच वाला चुन लेना — यहाँ छपा क्रम आरोही है ही नहीं।
• लाभ किसी एक किस्म की दर पर लगा देना, जबकि वह मिश्रण के भारित क्रय-मूल्य पर लगता है।

• practice — not a real PYQ

  कोई दुकानदार ₹ 40/kg वाला 30 kg गेहूँ और ₹ 50/kg वाला 20 kg गेहूँ मिला देता है । मिश्रण का प्रति kg क्रय-मूल्य क्या है ?

  • (a)₹ 43
  • (b)₹ 44
  • (c)₹ 45
  • (d)₹ 46

  उत्तर(b) ₹ 44 — कुल लागत ₹ 1200 + ₹ 1000 = ₹ 2200 और कुल मात्रा 50 kg, इसलिए 2200 ÷ 50 = ₹ 44 प्रति kg।