यदि a का x प्रतिशत और b का y प्रतिशत बराबर हो, तो b का z प्रतिशत, a का कितना प्रतिशत है ?

सही उत्तर — A, (a) zx/y — यानी अंश में zx और हर में y।

दी हुई बात को समीकरण में लिखिए। a का x प्रतिशत है ax⁄100, और b का y प्रतिशत है by⁄100। दोनों बराबर हैं, इसलिए ax⁄100 = by⁄100, यानी ax = by।

यहीं वह चरण है जो पूरा प्रश्न खोल देता है : इसी समीकरण से b को a के रूप में लिख लीजिए — b = ax⁄y।

अब पूछी गई राशि निकालिए। b का z प्रतिशत है bz⁄100। उसमें b का मान रखिए : bz⁄100 = (ax⁄y) × z ⁄ 100 = axz ⁄ (100y)।

अंत में यह पूछा गया है कि यह राशि a का कितना प्रतिशत है। किसी राशि को a का प्रतिशत बनाने के लिए उसे a से भाग देकर सौ से गुणा किया जाता है : [axz ⁄ (100y)] ⁄ a × 100 = xz ⁄ y।

इसलिए उत्तर zx/y है।

इसी बात को सौ के बिना भी देखा जा सकता है, और यह रूप याद रखने योग्य है क्योंकि इसमें अंकगणित लगभग बचता ही नहीं। ax = by का अर्थ है कि a और b, x और y के व्युत्क्रमानुपाती हैं, यानी b⁄a = x⁄y। अब पूछा यह जा रहा है कि b का z प्रतिशत, a का कितना प्रतिशत है — और किसी राशि को दूसरी राशि के प्रतिशत में बदलते समय बस उनका अनुपात गुणा हो जाता है। इसलिए उत्तर सीधे z × (b⁄a) = z × x⁄y = zx⁄y निकल आता है। प्रतिशत के प्रश्नों में यह आदत बहुत काम आती है : सौ का गुणा और भाग प्रायः आपस में कट जाता है, इसलिए उसे लिखने से पहले ही छोड़ देना सुरक्षित रहता है।

दिशा से भी जाँच लीजिए, बिना कुछ हल किए। z बढ़ेगा तो b का बड़ा भाग लिया जाएगा, इसलिए उत्तर बढ़ना चाहिए — यानी z अंश में होना चाहिए। x बढ़ेगा तो ax = by के अनुसार b भी बढ़ेगा, इसलिए उत्तर फिर बढ़ना चाहिए — x भी अंश में। y बढ़ेगा तो b घटेगा, इसलिए उत्तर घटना चाहिए — y हर में। तीनों शर्तें केवल zx⁄y पूरी करता है, और यह जाँच अकेली ही शेष तीनों विकल्प काट देती है।

संख्याएँ रखकर पुष्टि कर लीजिए, क्योंकि इस प्रकार के प्रश्नों में यह सबसे तेज़ रास्ता है। मान लीजिए a = 100, x = 10 और y = 20। तब a का 10 प्रतिशत 10 है, और वही b का 20 प्रतिशत है, इसलिए b = 50। अब z = 40 लीजिए : b का 40 प्रतिशत 20 होता है, और 20, a यानी 100 का ठीक 20 प्रतिशत है। सूत्र से भी zx⁄y = 40 × 10 ⁄ 20 = 20। दोनों मिल गए।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (b)xy/z — यहाँ z हर में चला गया है, और यही इसकी सबसे बड़ी असंगति है। सोचकर देखिए : z जितना बड़ा होगा, b का उतना ही बड़ा भाग लिया जाएगा, इसलिए उत्तर भी बड़ा होना चाहिए। इस विकल्प में z बढ़ने पर उत्तर घटता है, जो उलटी दिशा है। ऐसे प्रश्नों में यह दिशा-जाँच अकेली ही तीन विकल्प काट देती है और उसमें एक भी गणना नहीं लगती। संख्याएँ रखकर भी देख लीजिए : a = 100, x = 10, y = 20 और z = 40 पर सही उत्तर 20 आता है, जबकि इस विकल्प से 10 × 20 ⁄ 40 = 5 निकलता है। दोनों मेल नहीं खाते।
• (c)yz/x — इस विकल्प में y अंश में है और x हर में, यानी दोनों की भूमिकाएँ आपस में बदल गई हैं। दिशा-जाँच से यह तुरंत पकड़ में आता है। समीकरण ax = by कहता है कि y जितना बड़ा होगा, b उतना ही छोटा होगा — और छोटे b का z प्रतिशत भी छोटा ही होगा। इसलिए उत्तर y के बढ़ने पर घटना चाहिए, बढ़ना नहीं। इस विकल्प में उल्टा हो रहा है। संख्याओं से भी जाँचिए : उन्हीं मानों पर यह विकल्प 20 × 40 ⁄ 10 = 80 देता है, जबकि सही मान 20 है। भूल की जड़ यह है कि b = ax⁄y के स्थान पर b = ay⁄x लिख लिया जाता है।
• (d)x/yz — यह अकेला विकल्प है जिसमें हर में दो अक्षर हैं, और यह बनावट ही ध्यान माँगती है — छपाई में यह ऊपर x और नीचे yz वाली भिन्न है, इसलिए इसका अर्थ x भाग (y गुणा z) है, न कि (x भाग y) गुणा z। इस अर्थ में z हर में है, इसलिए यह भी दिशा-जाँच में गिर जाता है : z बढ़ने पर उत्तर घटेगा, जो असंभव है। इसके अतिरिक्त यहाँ अंश में केवल एक अक्षर है, इसलिए मान बहुत छोटा निकलता है। उन्हीं संख्याओं से जाँचिए : 10 ⁄ (20 × 40) = 0·0125, जबकि सही उत्तर 20 है — अंतर इतना बड़ा है कि केवल परिमाण देखकर ही यह विकल्प हटाया जा सकता है।

प्रतिशत के प्रश्नों को बीजगणित में बदल लेना ही उनका सबसे भरोसेमंद हल है। 'a का x प्रतिशत' का अर्थ है ax⁄100, और यह अनुवाद जहाँ भी दिखे वहाँ बिना सोचे कर लेना चाहिए।

दूसरी उपयोगी आदत यह है कि जब दो राशियों के बीच कोई समानता दी हो, तो एक को दूसरे के रूप में लिख लिया जाए। यहाँ ax = by मिलते ही b = ax⁄y लिख लेने पर पूरा प्रश्न एक ही चर में आ जाता है, और अंत में वह चर भी कट जाता है।

तीसरी बात 'किसका प्रतिशत' की है, जो सबसे अधिक चूकती है। किसी राशि को किसी आधार का प्रतिशत बनाने के लिए उसे उसी आधार से भाग देकर सौ से गुणा किया जाता है। यहाँ आधार a है, इसलिए भाग a से देना है, b से नहीं।

चौथी और परीक्षा में सबसे उपयोगी बात दिशा-जाँच है। उत्तर देखकर पूछिए कि यदि कोई एक चर बढ़ाया जाए तो उत्तर बढ़ना चाहिए या घटना। यहाँ x और z के बढ़ने पर उत्तर बढ़ना चाहिए और y के बढ़ने पर घटना। इस एक कसौटी पर चारों में से केवल एक विकल्प खरा उतरता है।

मुख्य तथ्य

• 'a का x प्रतिशत' का बीजीय रूप ax⁄100 है; प्रतिशत के हर प्रश्न में सबसे पहले यही अनुवाद कर लेना चाहिए।
• दी हुई समानता ax⁄100 = by⁄100 से सौ कट जाता है और ax = by बचता है, जिससे b = ax⁄y निकलता है।
• b का z प्रतिशत निकालकर उसे a का प्रतिशत बनाने के लिए a से भाग देकर सौ से गुणा करना पड़ता है, और तब xz⁄y बचता है।
• दिशा-जाँच से उत्तर तुरंत पहचाना जा सकता है : x और z बढ़ने पर उत्तर बढ़ना चाहिए और y बढ़ने पर घटना चाहिए।
• संख्याएँ रखकर जाँच : a = 100, x = 10, y = 20 लेने पर b = 50 आता है, और z = 40 पर उत्तर 20 प्रतिशत निकलता है, जो सूत्र से मेल खाता है।

सामान्य भ्रम

• दी हुई शर्त से b निकालते समय अनुपात उलट देना — ax = by से b = ax⁄y बनता है, b = ay⁄x नहीं, और यही चूक सीधे विकल्प (c) पर ले जाती है।
• सौ के गुणा-भाग में उलझ जाना; प्रतिशत से प्रतिशत निकालते समय सौ प्रायः स्वयं कट जाता है, इसलिए उसे लिखने से पहले ही छोड़ देना सुरक्षित रहता है।
• दिशा-जाँच न लगाना; z और x बढ़ने पर उत्तर बढ़ना चाहिए और y बढ़ने पर घटना चाहिए, और यह अकेली कसौटी बिना किसी गणना के तीनों ग़लत विकल्प काट देती है।
• छपी हुई दो-मंज़िला भिन्न को ग़लत पढ़ना; विकल्प (d) में हर में दो अक्षर हैं, इसलिए उसका अर्थ x भाग (y गुणा z) है, न कि (x भाग y) गुणा z।

• practice — not a real PYQ

  यदि p का 20 प्रतिशत और q का 50 प्रतिशत बराबर हों, तो q का 30 प्रतिशत, p का कितना प्रतिशत है ?

  • (a)10
  • (b)12
  • (c)15
  • (d)18

  उत्तर(b) 12 — दी हुई शर्त से 20p = 50q, इसलिए q = 2p⁄5; q का 30 प्रतिशत = 0·30 × 2p⁄5 = 0·12p, जो p का 12 प्रतिशत है।