यदि पाँच व्यक्ति, पाँच समान क्षेत्रफल वाली दीवारों को पाँच घंटों में रंगते हैं, तो सात व्यक्ति समान क्षेत्रफल वाली सात दीवारों को कितने घंटों में रंगेंगे, यदि दोनों समूहों की दीवारें समरूप हैं ?

सही उत्तर — D, (d) 5 — सात व्यक्ति सात दीवारें भी पाँच घंटों में ही रंगेंगे।

पूरा प्रश्न एक ही चरण पर टिका है : व्यक्ति-दर निकाल लीजिए, समूह की दर नहीं।

दी हुई बात यह है कि पाँच व्यक्ति मिलकर पाँच दीवारें पाँच घंटों में रंगते हैं। पाँच व्यक्तियों में पाँच दीवारें बाँट दीजिए तो हर व्यक्ति के हिस्से ठीक एक दीवार आती है, और वह उसे पाँच घंटों में पूरा करता है। इसलिए एक व्यक्ति की दर है — एक दीवार, पाँच घंटे में।

यहाँ यह जान लेना उपयोगी है कि उत्तर इस बँटवारे की धारणा पर टिका नहीं है। चाहे मान लीजिए कि हर व्यक्ति अपनी अलग दीवार रंगता है, चाहे यह कि पाँचों मिलकर एक-एक दीवार बारी-बारी निपटाते हैं — कुल श्रम वही रहता है, यानी पाँच व्यक्ति-घंटे प्रति दीवार पच्चीस व्यक्ति-घंटे में पाँच दीवारें। दोनों पाठों पर उत्तर एक ही आता है, इसलिए इस प्रश्न में उस अस्पष्टता से डरने की आवश्यकता नहीं।

अब दूसरी स्थिति देखिए। सात व्यक्ति हैं और सात दीवारें, और प्रश्न बताता है कि दोनों समूहों की दीवारें समरूप हैं, यानी दर वही रहेगी। सात दीवारें सात व्यक्तियों में बाँटिए तो फिर हर व्यक्ति के हिस्से एक ही दीवार आती है, और वह उसे उन्हीं पाँच घंटों में पूरा करेगा। सब एक साथ काम कर रहे हैं, इसलिए पूरा काम भी पाँच घंटे में समाप्त हो जाता है।

यही बात सूत्र से भी देखी जा सकती है। जब काम की दर स्थिर हो तो व्यक्ति गुणा समय बटा काम एक स्थिरांक रहता है : (5 × 5) ⁄ 5 = (7 × t) ⁄ 7, यानी 5 = t।

ध्यान दीजिए कि व्यक्तियों की संख्या और दीवारों की संख्या दोनों एक ही अनुपात में बढ़ी हैं, इसलिए वे आपस में कट जाती हैं और समय अछूता रह जाता है। यही इस प्रश्न की पूरी रचना है, और परीक्षक ने तीनों जगह एक ही अंक — पाँच — रखकर उसे और भ्रामक बना दिया है।

इस बात को पकड़ने का सबसे अच्छा तरीक़ा यह देखना है कि उत्तर कब बदलता। यदि सात व्यक्ति केवल पाँच दीवारें रंगते, तो काम उतना ही रहता पर हाथ बढ़ जाते, और समय घटकर लगभग साढ़े तीन घंटे रह जाता। यदि पाँच ही व्यक्ति सात दीवारें रंगते, तो हाथ उतने ही रहते पर काम बढ़ जाता, और समय बढ़कर सात घंटे हो जाता। समय तभी अपरिवर्तित रहता है जब दोनों एक साथ, एक ही अनुपात में बदलें — और यहाँ ठीक वही हुआ है।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (a)8 — आठ घंटे किसी भी संगत पाठ से नहीं निकलते, और यही इस विकल्प की पहचान है। दी हुई सूचना से व्यक्ति-दर पूरी तरह तय हो जाती है — एक व्यक्ति एक दीवार पाँच घंटे में — और उसके बाद उत्तर बदलने के केवल दो रास्ते हैं : या तो दर बदल जाए, या व्यक्ति और दीवार का अनुपात बदल जाए। यहाँ दोनों में से कुछ नहीं बदला; दूसरे समूह में भी हर व्यक्ति के हिस्से ठीक एक दीवार आती है। इसलिए समय पाँच घंटे से हिल ही नहीं सकता। ऐसे विकल्प प्रायः इसलिए रखे जाते हैं कि अभ्यर्थी को लगे कि अधिक काम में अधिक समय लगेगा और वह सबसे बड़ा मान चुन ले।
• (b)7 — यह इस प्रश्न का मुख्य जाल है, और यह गणित की भूल से नहीं, ढर्रे की नक़ल से आता है। स्तंभ में पाँच का अंक तीन बार आया है और उसके बाद सात का अंक दो बार, इसलिए मन अपने-आप 'पाँच, पाँच, पाँच' के सामने 'सात, सात, सात' रख देता है और उत्तर सात लगने लगता है। पर तीसरा पाँच व्यक्तियों या दीवारों की गिनती नहीं, समय है, और समय उसी अनुपात में नहीं बदलता। जाँचकर देखिए : सात व्यक्ति सात घंटे में सात दीवारें रंगें, तो एक व्यक्ति एक दीवार सात घंटे में रंगेगा — पर पहली स्थिति से हमें पता है कि वह पाँच घंटे लेता है। यह विरोधाभास ही इस विकल्प को काट देता है।
• (c)6 — छह घंटे प्रायः बीच का रास्ता निकालने की कोशिश से आते हैं — यह सोचकर कि दीवारें बढ़ी हैं इसलिए समय कुछ बढ़ेगा, पर व्यक्ति भी बढ़े हैं इसलिए पूरा नहीं बढ़ेगा। यह अनुमान इसलिए ग़लत है कि दोनों वृद्धियाँ ठीक एक ही अनुपात में हैं, इसलिए वे पूरी तरह एक-दूसरे को संतुलित कर देती हैं, आंशिक रूप से नहीं। व्यक्ति-दर की जाँच से यह तुरंत दिख जाता है : दूसरे समूह में भी प्रति व्यक्ति एक ही दीवार पड़ती है, इसलिए स्थिति पहली स्थिति से ठीक वैसी ही है, केवल दोनों ओर संख्या बड़ी है। जहाँ प्रति व्यक्ति काम वही रहे, वहाँ समय भी वही रहता है।

काम और समय के प्रश्नों की नींव एक ही राशि पर है : प्रति व्यक्ति प्रति इकाई समय में किया गया काम। इसे कार्य-दर कहते हैं, और जब तक यह स्थिर है, बाक़ी सब उसी से निकलता है।

इससे सामान्य संबंध बनता है : किया गया काम बराबर व्यक्तियों की संख्या गुणा समय गुणा कार्य-दर। जब कार्य-दर दोनों स्थितियों में समान हो, तो (व्यक्ति × समय) ⁄ काम दोनों ओर बराबर रहता है।

इस प्रश्न में परखी जाने वाली बात यही है कि क्या अभ्यर्थी व्यक्तियों और काम को अलग-अलग गिनता है। जब दोनों एक ही गुणक से बढ़ें तो वे अंश और हर में आकर कट जाते हैं और समय अपरिवर्तित रहता है। यह परिणाम अन-अपेक्षित लगता है, पर तर्क सीधा है : हर व्यक्ति के हिस्से उतना ही काम आ रहा है जितना पहले आता था।

इसका उल्टा भी उतना ही महत्वपूर्ण है। यदि व्यक्ति बढ़ें पर काम उतना ही रहे, तो समय व्युत्क्रमानुपात में घटता है। और यदि काम बढ़े पर व्यक्ति उतने ही रहें, तो समय समानुपात में बढ़ता है। तीनों स्थितियों को अलग-अलग पहचान लेना इस पूरे अध्याय का सार है।

मुख्य तथ्य

• पाँच व्यक्ति पाँच दीवारें पाँच घंटों में रंगते हैं, इसका अर्थ है कि एक व्यक्ति एक दीवार पाँच घंटों में रंगता है — यही व्यक्ति-दर है।
• सात व्यक्तियों और सात दीवारों में भी प्रति व्यक्ति एक ही दीवार पड़ती है, इसलिए समय वही पाँच घंटे रहता है।
• कार्य-दर स्थिर होने पर (व्यक्ति × समय) ⁄ काम दोनों स्थितियों में बराबर रहता है; यहाँ (5 × 5) ⁄ 5 = (7 × t) ⁄ 7 से t = 5 निकलता है।
• जब काम करने वालों की संख्या और काम की मात्रा एक ही अनुपात में बदलें, तो वे आपस में कट जाते हैं और समय अपरिवर्तित रहता है।
• इसके विपरीत, केवल व्यक्ति बढ़ने पर समय व्युत्क्रमानुपात में घटता है और केवल काम बढ़ने पर समय समानुपात में बढ़ता है।

सामान्य भ्रम

• स्तंभ के अंकों का ढर्रा देखकर उत्तर भी वही अंक मान लेना, या उल्टा — यह मान लेना कि तीनों जगह पाँच होने के कारण उत्तर पाँच नहीं हो सकता। परीक्षक ने संख्याएँ जानबूझकर एक जैसी रखी हैं।
• व्यक्तियों और काम, दोनों के एक साथ बढ़ने को आंशिक संतुलन समझना; समान अनुपात में बढ़ने पर संतुलन पूरा होता है और समय बिलकुल नहीं बदलता।
• समूह की दर से सीधे हिसाब लगाना; पहले एक व्यक्ति की दर निकालनी चाहिए — यहाँ एक दीवार पाँच घंटे में — तभी दूसरी स्थिति पर वह दर लागू की जा सकती है।
• विकल्पों के घटते क्रम में छपे होने के कारण अंतिम विकल्प तक पहुँचने से पहले ही चुनाव कर लेना; इसी पृष्ठ के अन्य प्रश्नों में विकल्प बढ़ते क्रम में हैं।

• practice — not a real PYQ

  यदि 3 मशीनें 3 घंटों में 3 वस्तुएँ बनाती हैं, तो 9 मशीनें 9 वस्तुएँ कितने घंटों में बनाएँगी, यदि सभी मशीनों की गति समान हो ?

  • (a)3
  • (b)6
  • (c)9
  • (d)27

  उत्तर(a) 3 — 3 मशीनें 3 वस्तुएँ 3 घंटों में बनाती हैं, इसलिए एक मशीन एक वस्तु 3 घंटों में बनाती है; 9 मशीनों में 9 वस्तुएँ बाँटने पर भी प्रति मशीन एक ही वस्तु आती है, इसलिए समय 3 घंटे ही रहता है।