मोमबत्ती B की लंबाई मोमबत्ती A की लंबाई की तीन गुना है । मोमबत्ती B के जलने की गति मोमबत्ती A के जलने की गति की चार गुना है । एक समारोह, ये दोनों मोमबत्तियाँ जला कर प्रारंभ होता है । जब दोनों मोमबत्तियों की ऊँचाई समान हो जाती है, तो समारोह समाप्त कर दिया जाता है । यदि मोमबत्ती A के जल चुके भाग की लंबाई (मीटर में) और उसके जलने की गति (मीटर प्रति घंटा) का संख्यात्मक मान समान हो, तो समारोह कितने घंटे चला ?

सही उत्तर — B, (b) 1 — समारोह एक घंटा चला।

पहले चिह्न तय कीजिए। मान लीजिए मोमबत्ती A की लंबाई L और उसके जलने की गति v है। तब प्रश्न के अनुसार B की लंबाई 3L और उसके जलने की गति 4v होगी। दोनों एक ही क्षण जलाई जाती हैं, इसलिए t घंटे बाद A की ऊँचाई L − vt रहेगी और B की ऊँचाई 3L − 4vt।

समारोह उसी क्षण समाप्त होता है जब दोनों ऊँचाइयाँ बराबर हो जाएँ : L − vt = 3L − 4vt, जिससे 3vt = 2L और t = 2L ⁄ 3v।

इसी बात को सापेक्ष गति की तरह देखिए तो हिसाब और छोटा हो जाता है, और यही रूप दूसरे प्रश्नों में भी काम आता है। आरंभ में B, A से 2L ऊँची है। B प्रति घंटा 4v घटती है और A प्रति घंटा v, इसलिए दोनों के बीच का अंतर प्रति घंटा 4v − v = 3v की दर से घटता है। अंतर को शून्य होने में लगने वाला समय इसीलिए 2L ⁄ 3v है — आरंभिक अंतर को अंतर के मिटने की दर से भाग देकर। जहाँ दो राशियाँ अलग-अलग दरों से घट या बढ़ रही हों और उनके बराबर होने का समय पूछा जाए, वहाँ यही रूप सबसे तेज़ है।

अब वह चरण, जो उत्तर तय करता है। प्रश्न कहता है कि A के जल चुके भाग की लंबाई और उसके जलने की गति का संख्यात्मक मान समान है। A का जल चुका भाग vt है, और गति v है, इसलिए vt = v। यहीं से सीधे t = 1 निकल आता है — और यही समारोह की अवधि है।

यहाँ प्रश्न की एक बारीकी पर रुकिए, क्योंकि वह अनावश्यक लगती है पर है नहीं। प्रश्न ने कोष्ठक में इकाइयाँ लिखी हैं — लंबाई मीटर में और गति मीटर प्रति घंटा में — और कहा है कि 'संख्यात्मक मान' समान हैं। यह सावधानी इसलिए ज़रूरी थी कि लंबाई और गति दो अलग प्रकार की राशियाँ हैं और उन्हें सीधे बराबर कहना अर्थहीन होता। दोनों की इकाइयाँ नियत कर देने के बाद ही यह कहा जा सकता है कि उनके अंक बराबर हैं, और तभी vt = v लिखना वैध होता है। जहाँ प्रश्न इस तरह इकाइयाँ गिनाकर 'संख्यात्मक मान' कहे, वहाँ समझ लीजिए कि वही वाक्य हल की कुंजी है।

जाँच कर लीजिए कि यह सब आपस में मेल खाता है। t = 2L ⁄ 3v में t = 1 रखने पर 2L = 3v, यानी L = 1·5v। तब एक घंटे बाद A की ऊँचाई 1·5v − v = 0·5v रह जाती है और B की ऊँचाई 4·5v − 4v = 0·5v — दोनों बराबर, जैसा प्रश्न कहता है। इसलिए उत्तर 1 घंटा है, और शेष तीनों विकल्प इस शर्त को पूरा नहीं करते।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (a)1/2 — आधा घंटा तब आता जब जल चुके भाग को गति के बराबर मानने के बजाय आधा मान लिया जाता, या समीकरण 3vt = 2L को हल करते समय गुणांक उलट दिया जाता। जाँचकर देखिए : t = 0·5 रखने पर A का जल चुका भाग 0·5v होगा, जो गति v के बराबर नहीं है, इसलिए प्रश्न की दी हुई शर्त ही टूट जाती है। दूसरी ओर से भी देखिए — L = 1·5v लेकर आधे घंटे बाद A की ऊँचाई v और B की ऊँचाई 2·5v रह जाती है, यानी दोनों बराबर नहीं हुईं और समारोह उस क्षण समाप्त ही नहीं हुआ होता। इसलिए यह मान न तो समाप्ति की शर्त पर खरा उतरता है और न दी हुई संख्यात्मक शर्त पर।
• (c)1 1/4 — सवा घंटा उस स्थिति में निकलता है जब समीकरण में गुणांकों की जगह बदल जाए, जैसे 3vt = 2L के स्थान पर कोई और संबंध बना लिया जाए। इसे भी सीधे जाँचा जा सकता है। दी हुई शर्त कहती है कि A का जल चुका भाग vt गति v के बराबर है, और यह तभी संभव है जब t ठीक 1 हो; t = 1·25 रखने पर जल चुका भाग 1·25v हो जाएगा, जो v से अधिक है। यहाँ ध्यान देने योग्य बात यह है कि इस शर्त से समय अकेले ही तय हो जाता है — लंबाई या गति का मान जाने बिना — इसलिए 1 के अतिरिक्त कोई भी मान अपने-आप कट जाता है।
• (d)1 1/2 — डेढ़ घंटा प्रायः तब आता है जब दोनों मोमबत्तियों की लंबाई और गति के अनुपात आपस में उलझा दिए जाएँ, या L = 1·5v वाले परिणाम को ही समय मान लिया जाए। यह अंतिम भूल सबसे स्वाभाविक है, क्योंकि हल के बीच में 1·5 का अंक सचमुच निकलता है — पर वह लंबाई और गति का संबंध है, समय नहीं। इकाइयों पर ध्यान देने से यह भूल तुरंत पकड़ी जाती है : L मीटर में है और v मीटर प्रति घंटा में, इसलिए L ⁄ v ही घंटों में आता है, अकेला 1·5 नहीं। समय का सही मान 2L ⁄ 3v है, और उसमें दी हुई शर्त रखने पर वह ठीक 1 निकलता है।

इस प्रश्न की जड़ में एक ही सरल संबंध है : जो भाग जल चुका है, वह जलने की गति और बीते समय का गुणनफल होता है। इसी से बची हुई ऊँचाई निकलती है — आरंभिक लंबाई में से जला हुआ भाग घटा दीजिए।

दो वस्तुओं की तुलना वाले ऐसे प्रश्नों में सबसे उपयोगी आदत यह है कि सब कुछ एक ही चर के सहारे लिखा जाए। यहाँ A की लंबाई को L और गति को v मान लेने पर B की लंबाई और गति अपने-आप 3L तथा 4v हो जाती हैं, क्योंकि प्रश्न उन्हें A के गुणज के रूप में ही देता है। इससे कोई नया अज्ञात नहीं जुड़ता।

दूसरी उपयोगी आदत यह है कि 'समाप्ति की शर्त' को समीकरण में बदला जाए। यहाँ शर्त है कि दोनों ऊँचाइयाँ बराबर हो जाएँ, और वही एक समीकरण देती है, जिससे समय लंबाई और गति के रूप में निकल आता है।

तीसरी बात, जो इस प्रश्न की विशेषता है : कभी-कभी एक अतिरिक्त संख्यात्मक शर्त दी जाती है, जो अपने-आप में पूरा उत्तर दे देती है। यहाँ 'जल चुके भाग का मान गति के बराबर है' ठीक वैसी ही शर्त है।

मुख्य तथ्य

• जल चुके भाग की लंबाई जलने की गति और बीते समय का गुणनफल होती है; बची हुई ऊँचाई आरंभिक लंबाई में से यही गुणनफल घटाकर मिलती है।
• दोनों मोमबत्तियों को एक ही चर से लिखने पर A की लंबाई L और गति v लेने से B की लंबाई 3L और गति 4v हो जाती है।
• ऊँचाइयाँ बराबर होने की शर्त L − vt = 3L − 4vt देती है, जिससे 3vt = 2L और t = 2L ⁄ 3v निकलता है।
• दी हुई संख्यात्मक शर्त vt = v है, और वही अकेले समय को 1 घंटा तय कर देती है, बिना लंबाई या गति का मान जाने।
• जाँच : L = 1·5v रखने पर एक घंटे बाद दोनों की ऊँचाई 0·5v रह जाती है, इसलिए समाप्ति की शर्त पूरी होती है।

सामान्य भ्रम

• हल के बीच में निकले किसी अंक को ही उत्तर मान लेना; यहाँ 1·5 लंबाई और गति का संबंध है, समय नहीं, और इकाइयों पर ध्यान देने से यह तुरंत पकड़ में आता है।
• दी हुई संख्यात्मक शर्त को केवल सजावट समझकर छोड़ देना, जबकि वही अकेली उत्तर तय करती है — vt = v से सीधे t = 1 निकल आता है।
• प्रश्न के कोष्ठकों में दी इकाइयों की अनदेखी करना; लंबाई और गति अलग प्रकार की राशियाँ हैं, और उन्हें बराबर कहना केवल इसलिए वैध है कि प्रश्न ने दोनों की इकाइयाँ नियत करके 'संख्यात्मक मान' कहा है।
• मिश्र भिन्न के रूप में छपे विकल्प को गुणनफल पढ़ लेना; बीच का रिक्त स्थान पूर्णांक और भिन्न को अलग करता है, गुणा नहीं दर्शाता।

• practice — not a real PYQ

  एक मोमबत्ती की लंबाई 24 सेंटीमीटर है और वह 4 सेंटीमीटर प्रति घंटा की दर से जलती है, जबकि दूसरी की लंबाई 18 सेंटीमीटर है और वह 2 सेंटीमीटर प्रति घंटा की दर से जलती है । दोनों एक साथ जलाई जाएँ, तो कितने घंटों बाद दोनों की ऊँचाई समान हो जाएगी ?

  • (a)2
  • (b)3
  • (c)4
  • (d)5

  उत्तर(b) 3 — t घंटे बाद ऊँचाइयाँ 24 − 4t और 18 − 2t होंगी; इन्हें बराबर रखने पर 24 − 4t = 18 − 2t, यानी 6 = 2t और t = 3; जाँच में दोनों की ऊँचाई 12 सेंटीमीटर निकलती है।