जब M द्रव्यमान की गेंद को बिंदु A से ऊपर की ओर उछाला जाता है, यह उच्चतम बिंदु B तक पहुंचती है और वापस A के पास आ जाती है । निम्नलिखित में से कौन-सा सही है ?

सही — A, A पर गतिज ऊर्जा = B पर स्थितिज ऊर्जा। A (प्रक्षेपण-बिंदु) को वह संदर्भ मानिए जहाँ स्थितिज ऊर्जा शून्य है। A पर गेंद के पास केवल गतिज ऊर्जा (आधा M v वर्ग) होती है और स्थितिज ऊर्जा शून्य; शीर्ष B पर वह क्षण भर के लिए विराम में होती है, अतः वहाँ केवल स्थितिज ऊर्जा (M g h) होती है और गतिज ऊर्जा शून्य। चूँकि यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है (वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करने पर), इसलिए A की सारी गतिज ऊर्जा B पर स्थितिज ऊर्जा में बदल चुकी होती है — अतः A पर गतिज ऊर्जा = B पर स्थितिज ऊर्जा।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (b)
  A पर गतिज ऊर्जा = A पर स्थितिज ऊर्जा — प्रक्षेपण-बिंदु A पर ऊँचाई शून्य है, अतः A पर स्थितिज ऊर्जा शून्य है जबकि A पर गतिज ऊर्जा बड़ी है — जब तक गेंद बिलकुल गतिहीन न हो, ये बराबर हो ही नहीं सकतीं।
• (c)
  B पर गतिज ऊर्जा = B पर स्थितिज ऊर्जा — उच्चतम बिंदु B पर गेंद क्षण भर के लिए विराम में होती है, अतः उसकी गतिज ऊर्जा शून्य है; वह B की अशून्य स्थितिज ऊर्जा के बराबर नहीं हो सकती।
• (d)
  B पर गतिज ऊर्जा = A पर गतिज ऊर्जा — B पर गतिज ऊर्जा शून्य है (गेंद शीर्ष पर रुक जाती है) जबकि A पर गतिज ऊर्जा प्रक्षेपण का पूरा मान है, अतः वे बराबर नहीं हैं; गेंद जब लौटकर A पर आती है, तभी उसकी गतिज ऊर्जा प्रक्षेपण-मान के बराबर होती है।

गुरुत्व के अधीन गतिमान पिंड के लिए, वायु प्रतिरोध नगण्य हो तो यांत्रिक ऊर्जा (गतिज + स्थितिज) संरक्षित रहती है। गेंद के ऊपर उठते समय गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में बदलती है; उच्चतम बिंदु पर चाल शून्य होती है इसलिए सारी ऊर्जा स्थितिज होती है; नीचे आते समय स्थितिज ऊर्जा फिर गतिज में बदल जाती है। स्थितिज ऊर्जा को प्रक्षेपण तल A से मापने पर A की स्थितिज ऊर्जा शून्य हो जाती है।

मुख्य तथ्य

• यांत्रिक ऊर्जा का संरक्षण: जब केवल गुरुत्व कार्य कर रहा हो (घर्षण या वायु प्रतिरोध न हो), तो गतिज + स्थितिज ऊर्जा अचर रहती है।
• प्रक्षेपण-बिंदु A (संदर्भ तल) पर स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है, अतः गेंद की ऊर्जा विशुद्ध गतिज होती है।
• उच्चतम बिंदु B पर वेग शून्य होता है, अतः गतिज ऊर्जा शून्य और ऊर्जा विशुद्ध स्थितिज होती है।
• A पर लौटने पर गेंद संरक्षण के कारण अपनी मूल गतिज ऊर्जा और चाल पुनः प्राप्त कर लेती है।

सामान्य भ्रम

• यह भूल जाना कि प्रक्षेपण तल A पर स्थितिज ऊर्जा शून्य है — संदर्भ तल तय करना आवश्यक है।
• यह सोचना कि शीर्ष पर गतिज ऊर्जा अशून्य है — गेंद B पर क्षण भर के लिए विराम में होती है।

• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर उछाली गई गेंद के पास उसके उच्चतम बिंदु पर होती है

  • (a)अधिकतम गतिज ऊर्जा
  • (b)शून्य गतिज ऊर्जा
  • (c)शून्य स्थितिज ऊर्जा
  • (d)अधिकतम चाल
  उत्तर(b) शून्य गतिज ऊर्जा — वह क्षण भर के लिए विराम में होती है, अतः सारी ऊर्जा स्थितिज होती है।
• अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं

  m द्रव्यमान का एक पत्थर v चाल से ऊपर उछाला जाता है। वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करने पर प्राप्त अधिकतम ऊँचाई है

  • (a)v वर्ग / 2g
  • (b)v / 2g
  • (c)2 v वर्ग / g
  • (d)v वर्ग / g
  उत्तर(a) v वर्ग / 2g — आधा m v वर्ग = m g h से।