राम अपनी कार के पथमापी पाठ्यांक (ओडोमीटर रीडिंग) में अपनी यात्रा के आरंभ में 2000 km और 8 घंटे के बाद यात्रा की समाप्ति पर तय की गयी दूरी 2400 km रिकार्ड करता है । कार की औसत चाल क्या है ?
- (a)50 km/h
- (b)60 km/h
- (c)70 km/h
- (d)80 km/h
उत्तर
क्यों
सही — A, 50 km/h। पथमापी वाहन द्वारा वास्तव में तय की गई दूरी गिनता है, इसलिए इस यात्रा में तय की गई दूरी दोनों पाठ्यांकों का अंतर है, 2400 − 2000 = 400 km।
यात्रा में 8 घंटे लगे। औसत चाल कुल दूरी भाग कुल समय होती है, जिससे 400 ÷ 8 = 50 km/h मिलता है। ध्यान दीजिए कि प्रश्न आपको मार्ग के बारे में या कार किसी भी क्षण कितनी तेज़ चल रही थी इस बारे में कुछ नहीं बताता, और औसत चाल को इनमें से किसी की आवश्यकता नहीं होती।
अन्य विकल्प क्यों गलत हैं
- (b)60 km/h — 8 घंटे तक 60 km/h पर कार 480 km तय कर चुकी होती, इसलिए पथमापी को अंत में 2480 पढ़ना होता, 2400 नहीं।
- (c)70 km/h — 8 घंटे पर 70 km/h का अर्थ है 560 km, जो पथमापी को 2560 तक ले जाता। दिया गया पाठ्यांक इसका समर्थन नहीं करता।
- (d)80 km/h — 8 घंटे पर 80 km/h का अर्थ है 640 km। दूसरे शब्दों में, 80 km/h पर 400 km तय करने में केवल 5 घंटे लगते, बताए गए 8 घंटे नहीं।
अवधारणा
औसत चाल कुल तय किए गए पथ की लंबाई भाग कुल लिया गया समय होती है, और यह एक अदिश (scalar) राशि है। औसत वेग कुल विस्थापन भाग कुल समय होता है, और यह एक सदिश (vector) राशि है। पथमापी पथ-लंबाई मापता है, विस्थापन नहीं, जिससे यह औसत-चाल वाले प्रश्न के लिए ठीक सही उपकरण बन जाता है और औसत-वेग वाले प्रश्न के लिए गलत।
दो आदतें यहाँ आपकी रक्षा करती हैं। पहली, सदैव दोनों पथमापी पाठ्यांकों को घटाइए — जल्दबाज़ी में अभ्यर्थी अंतिम पाठ्यांक 2400 को सीधे 8 से भाग दे सकता है, और यद्यपि इस विशेष पत्र में 300 विकल्पों में नहीं है, कहीं और यही चूक घातक हो सकती है।
दूसरी, चाल और वेग को अलग रखिए। यदि यह कार 200 km बाहर जाती और 200 km वापस अपने आरंभिक बिंदु तक आती, तो भी पथमापी 400 km ही दिखाता और औसत चाल फिर भी 50 km/h ही होती, परन्तु औसत वेग शून्य होता, क्योंकि विस्थापन शून्य होता। इस शृंखला के परीक्षक दोनों ही रूप सेट करते हैं।
मुख्य तथ्य
- औसत चाल कुल तय की गई दूरी भाग कुल लिया गया समय के बराबर होती है।
- पथमापी वाहन द्वारा उसके वास्तविक पथ पर तय की गई दूरी रिकॉर्ड करता है, उसका सीधी-रेखा विस्थापन नहीं।
- 8 घंटे में 400 km का अर्थ है 50 km/h; वही 8 घंटे 60 km/h पर 480 km की माँग करते।
- औसत वेग विस्थापन का प्रयोग करता है, इसलिए अपने आरंभिक बिंदु पर वापस लौटने वाली गोल-यात्रा का औसत वेग शून्य होता है, चाहे उसकी औसत चाल कितनी भी अधिक क्यों न हो।
पहले पाठ्यांकों को घटाइए, फिर समय से भाग दीजिए — इससे विकल्प (a), 50 km/h मिलता है।
आगे की तैयारी
सामान्य भ्रम
- अंतिम पथमापी पाठ्यांक को ही तय की गई दूरी मान लेना, न कि दोनों पाठ्यांकों का अंतर।
- औसत चाल पूछे जाने पर औसत वेग से उत्तर दे देना, या इसका उल्टा।
इसे इसी प्रकार के एक-चरणीय अंकगणित मद के रूप में, या दो-चरण वाली यात्रा के रूप में जहाँ दोनों चरणों की चालें भिन्न हों और औसत को सही ढंग से निकालना पड़े, पूछा जाता है।
संबंधित PYQ
एक कार किसी निश्चित दूरी के पहले एक-तिहाई भाग को 10 km/hr की चाल से, अगले एक-तिहाई भाग को 20 km/hr की चाल से और अंतिम एक-तिहाई भाग को 60 km/hr की चाल से तय करती है। पूरी यात्रा के लिए कार की औसत चाल है
- (a) 18 km/hr
- (b) 24 km/hr
- (c) 30 km/hr
- (d) 36 km/hr
उत्तर(a) 18 km/hr
वही परिभाषा, कठिन बनाई गई। कुल दूरी भाग कुल समय ही एकमात्र नियम है जो आपको चाहिए — UPSC केवल संख्याओं को इस तरह सजा देता है कि 10, 20 और 60 का सीधा औसत एक जाल के रूप में सामने आता है।
एक व्यक्ति एक स्थान से दूसरे स्थान तक 40 किलोमीटर/घंटा की औसत चाल से गया और उसी मूल स्थान पर 50 किलोमीटर/घंटा की औसत चाल से वापस आया। पूरी गोल-यात्रा के दौरान किलोमीटर/घंटा में उसकी औसत चाल क्या है?
- (a) 45
- (b) 20
- (c) 400/9
- (d) जब तक दोनों स्थानों के बीच की दूरी ज्ञात न हो, तब तक पता लगाना असंभव है
उत्तर(c) 400/9
गोल-यात्रा वाला रूप। असमान चालों पर समान दूरियाँ हरात्मक माध्य देती हैं, 45 नहीं, और दूरी स्वयं निरस्त हो जाती है — वही कुल-दूरी-भाग-कुल-समय का नियम काम कर रहा है।
NDA_GAT_2019_II_Q662019एक कार बेंगलुरु से आरंभ होकर, दक्षिण की ओर सीधी रेखा में 50 km जाती है, तुरंत मुड़ती है और बेंगलुरु वापस लौट आती है। इस गोल-यात्रा में लगा समय 2 घंटे है। इस गोल-यात्रा के लिए कार के औसत वेग का परिमाण
- (a) 0 है।
- (b) 50 km/hr है।
- (c) 25 km/hr है।
- (d) त्वरण जाने बिना गणना नहीं की जा सकती।
उत्तर(a) 0 है।
किसी पहले के NDA पत्र से साथी जाल। वहाँ कार अपने आरंभिक बिंदु पर लौट आती है इसलिए औसत वेग शून्य है जबकि औसत चाल 50 km/h है; यहाँ पथमापी पथ-लंबाई देता है और औसत चाल ही अभीष्ट है। प्रश्न इन दोनों में से किस शब्द का प्रयोग करता है, यह पढ़ लीजिए।
अभ्यास
- अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
एक साइकिल-चालक 30 km 2 घंटे में और अगले 30 km 3 घंटे में तय करता है। पूरी यात्रा के लिए उसकी औसत चाल क्या है?
- (a)10 km/h
- (b)12 km/h
- (c)12.5 km/h
- (d)15 km/h
उत्तर(b) 12 km/h — कुल 5 घंटे में 60 km तय हुए; ध्यान दें कि यह 15 और 10 का सीधा औसत नहीं है। - अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
एक कार A से B तक जाती है और फिर A को लौट आती है, कुल मिलाकर 240 km को 4 घंटे में तय करती है। पूरी यात्रा के लिए उसका औसत वेग है
- (a)60 km/h
- (b)30 km/h
- (c)शून्य
- (d)निर्धारित नहीं किया जा सकता
उत्तर(c) शून्य — कार वहीं समाप्त होती है जहाँ से शुरू हुई थी, इसलिए विस्थापन शून्य है भले ही औसत चाल 60 km/h हो।