100 g का एक गोला 20 m/s की चाल से गति कर रहा है और 50 g द्रव्यमान के दूसरे गोले से टकरा जाता है । यदि दूसरा गोला टकराने से पहले स्थिर था और पहला गोला टकराने के तुरंत बाद स्थिर हो जाता है तो इस टकराव को पूर्णतः प्रत्यास्थ (elastic) मानते हुए, दूसरे गोले की चाल क्या होगी ?
- (a)10 m/s
- (b)20 m/s
- (c)30 m/s
- (d)40 m/s
उत्तर
क्यों
सही — D, 40 m/s। संवेग से काम कीजिए। टक्कर से पहले केवल पहला गोला गतिमान है, इसलिए दोनों का कुल संवेग p = m1 u1 = 0.100 kg × 20 m/s = 2.0 kg m/s है। टक्कर के बाद पहला गोला स्थिर बताया गया है, इसलिए वह पूरा संवेग अकेले दूसरे गोले को वहन करना होगा।
m2 v = 2.0 kg m/s में m2 = 0.050 kg रखने पर v = 2.0 / 0.050 = 40 m/s मिलता है। हल्के पिंड को वही संवेग वहन करने के लिए तेज़ चलना होगा, और यह ठीक आधा हल्का है, इसलिए यह आने वाले गोले की तुलना में ठीक दोगुनी चाल पर पहुँचता है। उत्तर 40 m/s है।
अन्य विकल्प क्यों गलत हैं
- (a)10 m/s — यह 20 m/s का आधा है। यह द्रव्यमान-अनुपात को उलटे ढंग से गुणा करने से आता है — मानो हल्के गोले को धीमी चाल से चलना ही होगा। संवेग इसके ठीक उलट काम करता है, क्योंकि वही संवेग वहन करने वाला कम द्रव्यमान अधिक चाल माँगता है, कम नहीं।
- (b)20 m/s — यह मान लेता है कि चाल अपरिवर्तित सौंप दी जाती है, मानो वेग ही संरक्षित राशि हो। ऐसा नहीं है। चाल केवल तभी ज्यों-की-त्यों स्थानांतरित होती है जब दोनों द्रव्यमान बराबर हों, और यहाँ दूसरा गोला पहले के द्रव्यमान का आधा है।
- (c)30 m/s — आँकड़ों की कोई संगत व्याख्या 30 m/s नहीं देती। यह संवेग वाले उत्तर 40 m/s और इन दोनों द्रव्यमानों के लिए मानक प्रत्यास्थ-टक्कर सूत्रों से मिलने वाले लगभग 26.7 m/s के बीच बैठता है, इसलिए यह वह संख्या है जो अंतर को बाँटने से मिलती है, न कि किसी भी नियम को लागू करने से।
अवधारणा
किसी भी ऐसी टक्कर में जिस पर कोई बाह्य बल कार्य न करता हो, टकराने वाले पिंडों का कुल रैखिक संवेग टक्कर से ठीक पहले और ठीक बाद समान रहता है। यह एकल कथन इस पाठ्यक्रम की अधिकांश टक्कर-समस्याओं को हल करने के लिए पर्याप्त है, क्योंकि संवेग द्रव्यमान और वेग का गुणनफल है, इसलिए एक में परिवर्तन का मूल्य दूसरे में परिवर्तन से चुकाना पड़ता है। गतिज ऊर्जा अलग मामला है — यह केवल पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर में संरक्षित रहती है और अप्रत्यास्थ टक्कर में आंशिक रूप से ऊष्मा, ध्वनि और विरूपण में खो जाती है।
कुंजी के मान तक पहुँचने का रास्ता पूरी तरह संवेग-संरक्षण से होकर जाता है, और यही वह संबंध है जिसे यह प्रश्न वास्तव में परख रहा है। शब्दावली में एक तनाव के बारे में विद्यार्थियों से ईमानदार रहना उचित है। कथन कहता है कि टक्कर प्रत्यास्थ है और यह भी कि भारी गोला स्थिर हो जाता है, और इन दोनों दशाओं का इन द्रव्यमानों के लिए एक साथ सत्य होना संभव नहीं है। वास्तविक प्रत्यास्थ आमने-सामने की टक्कर में आने वाला पिंड केवल तभी स्थिर होता है जब दोनों द्रव्यमान बराबर हों; 100 g के 50 g से टकराने पर प्रत्यास्थ सूत्र पहले गोले के लिए लगभग 6.7 m/s और दूसरे के लिए लगभग 26.7 m/s देते हैं, इसलिए पहला रुकेगा नहीं।
ऊर्जा जाँचने से भी वही बात सामने आती है — 20 J अंदर जाती है और बताया गया परिणाम 40 J बाहर ले जाएगा, जो कोई भी टक्कर नहीं कर सकती। छपे हुए आँकड़े समस्या को अति-निर्दिष्ट करते हैं। जो शर्त वास्तव में एक संख्या तय करती है, और जिसका आधिकारिक कुंजी अनुसरण करती है, वह है पहले गोले के स्थिर होने के साथ संवेग-संरक्षण, और यह 40 m/s देती है।
मुख्य तथ्य
- रैखिक संवेग p = mv किसी टक्कर में संरक्षित रहता है जब टकराने वाले तंत्र पर कोई बाह्य बल कार्य न करे।
- यहाँ पहले का संवेग 0.100 kg × 20 m/s = 2.0 kg m/s है, और टक्कर के बाद 50 g के गोले को इसे पूरा वहन करना होगा।
- 0.050 kg × v = 2.0 kg m/s हल करने पर v = 40 m/s मिलता है।
- पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर गतिज ऊर्जा भी संरक्षित करती है, और आमने-सामने की प्रत्यास्थ टक्कर में आने वाला पिंड केवल तभी स्थिर होता है जब दोनों द्रव्यमान बराबर हों।
पूरा 2.0 kg m/s को 50 g के गोले के साथ जाना है, और आधा द्रव्यमान का अर्थ है दोगुनी चाल।
आगे की तैयारी
सामान्य भ्रम
- यह मान लेना कि चाल, संवेग के बजाय, आगे सौंपी जाती है, जिससे 20 m/s मिलता है।
- द्रव्यमान-अनुपात को उलटा लगाना और चाल को बढ़ाने के बजाय घटा देना।
- जब टक्कर के बाद एक पिंड की अंतिम अवस्था पहले से दी हुई हो, तब भी प्रत्यास्थ-टक्कर सूत्रों की ओर जाना; अकेला संवेग-संरक्षण ही इसे तय कर देता है।
इसे एक-पंक्ति के संख्यात्मक प्रश्न के रूप में पूछा जाता है — दो-पिंड टक्कर पर संवेग-संरक्षण लागू करना, जिसमें एक पिंड की अंतिम अवस्था दी गई हो।
संबंधित PYQ
अभिकथन (A): पूर्णतः घर्षणरहित सतह पर खड़ा एक व्यक्ति सीटी बजाकर स्वयं को गति दे सकता है। कारण (R): यदि किसी तंत्र पर कोई बाह्य बल कार्य न करे, तो उसका संवेग नहीं बदल सकता।
- (a) A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
- (b) A और R दोनों सत्य हैं, परंतु R, A की सही व्याख्या नहीं है
- (c) A सत्य है, परंतु R असत्य है
- (d) A असत्य है, परंतु R सत्य है
उत्तर(a) A और R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
उस सिद्धांत को शब्दों में बताता है जिसकी गणना यह प्रश्न आपसे करवाता है। किसी विलग तंत्र का संवेग बदल नहीं सकता, इसलिए एक ओर धकेली गई वायु को व्यक्ति को दूसरी ओर धकेलना ही होगा — ठीक वैसे ही जैसे भारी गोले द्वारा खोया गया संवेग हल्के गोले में फिर प्रकट होता है।
NDA_GAT_2022_II_Q149202210 g द्रव्यमान की एक गोली 1 kg द्रव्यमान की पिस्तौल से 300 m s⁻¹ के वेग से क्षैतिज रूप से दागी जाती है। पिस्तौल का प्रतिक्षेप वेग क्या है ?
- (a) 0·3 m s⁻¹
- (b) 3 m s⁻¹
- (c) –3 m s⁻¹
- (d) –0·3 m s⁻¹
उत्तर(c) –3 m s⁻¹
दर्पण-प्रतिबिंब में वही एक-पंक्ति की गणना। वहाँ एक हल्का पिंड तेज़ी से निकलता है और एक भारी पिंड धीमे प्रतिक्षिप्त होता है; यहाँ संवेग भारी से हल्के में जाता है और हल्का तेज़ हो जाता है। दोनों एक ही समीकरण हैं — पहले का कुल संवेग बाद के कुल संवेग के बराबर।
NDA_GAT_2023_I_Q872023M₁ द्रव्यमान का एक रेलवे वैगन (ऊपर से खुला हुआ) v₁ चाल से एक सीधी पटरी पर गतिमान है। वर्षा के परिणामस्वरूप, कुछ समय बाद यह आंशिक रूप से पानी से भर जाता है जिससे वैगन का द्रव्यमान M₂ और चाल v₂ हो जाती है। यह मानते हुए कि वर्षा ऊर्ध्वाधर रूप से गिर रही है और पानी वैगन के भीतर स्थिर है, दोनों चालों v₁ और v₂ के बीच संबंध है :
- (a) v₁ = v₂
- (b) ½ M₁v₁² < ½ M₂v₂²
- (c) M₁v₁ = M₂v₂
- (d) M₁v₁ < M₂v₂
उत्तर(c) M₁v₁ = M₂v₂
यही प्रश्न प्रतीकों में पूछता है और यह बिंदु स्पष्ट करता है कि चाल या गतिज ऊर्जा नहीं, संवेग ही वह राशि है जो स्थिर रहती है। द्रव्यमान बदलते ही चाल को इसकी भरपाई के लिए बदलना पड़ता है — यहाँ के 40 m/s के पीछे यही तर्क है।
अभ्यास
- अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
3 m/s की चाल से गतिमान 2 kg की ट्रॉली एक स्थिर 4 kg की ट्रॉली से टकराती है और दोनों साथ में चलने लगती हैं। उनकी सामान्य चाल है
- (a)0.5 m/s
- (b)1 m/s
- (c)1.5 m/s
- (d)2 m/s
उत्तर(b) 1 m/s — पहले का संवेग 6 kg m/s है, और संयुक्त 6 kg से भाग देने पर 1 m/s मिलता है। - अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
दो पिंडों के बीच आमने-सामने की प्रत्यास्थ टक्कर में, गतिमान पिंड प्रभाव के बाद ठीक स्थिर हो जाता है जब
- (a)गतिमान पिंड स्थिर पिंड से कहीं अधिक भारी हो
- (b)दोनों पिंडों का द्रव्यमान बराबर हो
- (c)स्थिर पिंड कहीं अधिक भारी हो
- (d)यह द्रव्यमानों की किसी भी जोड़ी के लिए होता है
उत्तर(b) दोनों पिंडों का द्रव्यमान बराबर हो — केवल तभी संवेग और गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रह सकते हैं जबकि पहला पिंड रुक जाए।