MPSC 2026 पूर्व परीक्षा पेपर-१ · प्रश्न 54 / 100

बरोबर — पर्याय (4), "ऋण (−)". इथले सगळे भिंग निर्मात्याच्या सूत्रातून निघते, पण ते हवेसाठी नव्हे तर माध्यमात ठेवलेल्या भिंगासाठी लिहावे लागते: 1/f = (n_भिंग / n_माध्यम − 1) × (1/R₁ − 1/R₂) दुसरा कंस भिंगाच्या आकारावर ठरतो आणि भोवती काय आहे याची त्याला पर्वा नाही. पहिला कंस मात्र पूर्णपणे माध्यमाच्या ताब्यात आहे. भिंग त्याच्या भोवतालच्या माध्यमापेक्षा घन असेल — हवेतील काच, म्हणजे नेहमीची स्थिती — तेव्हा n_भिंग/n_माध्यम एकपेक्षा मोठा असतो, कंस धन राहतो, आणि भिंग अपेक्षेप्रमाणे वागते: दुहेरी बहिर्वक्र भिंग किरण एकत्र आणते आणि त्याची नाभीय लांबी धन असते. आता प्रश्न सांगतो तसे माध्यम भिंगापेक्षा घन करा. मग n_भिंग/n_माध्यम एकपेक्षा लहान होतो, (n_भिंग/n_माध्यम − 1) हा कंस ऋण होतो, आणि ऋण संख्येने गुणल्यामुळे 1/f चे चिन्ह उलटते. भिंगाचे प्रकाशीय स्वरूपच उलटे होते. हवेत अभिसारी असलेले आणि धन नाभीय लांबी असलेले दुहेरी बहिर्वक्र भिंग आता अपसारी बनते आणि त्याची नाभीय लांबी ऋण होते — हेच आयोगाचे श्रेयांकित उत्तर, पर्याय (4). वर्गातले नेहमीचे प्रात्यक्षिक म्हणजे सुमारे 1.5 अपवर्तनांक असलेले क्राउन काचेचे बहिर्वक्र भिंग सुमारे 1.63 अपवर्तनांक असलेल्या कार्बन डायसल्फाइडमध्ये बुडवणे. या रचनेत शिरणारे समांतर किरण एका बिंदूत जमण्याऐवजी पसरतात. रोजच्या जगण्यातले रूप म्हणजे पाण्यात अडकलेला हवेचा बुडबुडा: त्याचा आकार बहिर्वक्र असतो, पण तो भोवतालच्या पाण्यापेक्षा प्रकाशीयदृष्ट्या विरल असल्याने तो अपसारी भिंगासारखा वागतो — म्हणूनच पेल्यातील बुडबुडे कडेने चमकतात पण प्रकाश कधीच एका बिंदूत गोळा करत नाहीत. चिन्ह का उलटते हे बीजगणितापुरते न पाहता भौतिकदृष्ट्या समजून घेणे उपयुक्त आहे. प्रत्येक पृष्ठावर अपवर्तन होताना प्रकाश घन माध्यमात शिरत असेल तर अभिलंबाकडे वळतो आणि विरल माध्यमात शिरत असेल तर अभिलंबापासून दूर वळतो. हवेत बहिर्वक्र काचेच्या भिंगाच्या वक्र पृष्ठात शिरणारा प्रकाश घन माध्यमात शिरत असतो, म्हणून तो आतल्या बाजूला, अक्षाकडे वळतो — म्हणजे अभिसरण. त्याच भिंगाभोवती काचेपेक्षा घन असे काही ठेवा; आता त्याच पृष्ठातून जाणारा प्रकाश विरल माध्यमात शिरतो, प्रत्येक पृष्ठावर तो उलट दिशेने वळतो, आणि जो आकार किरण गोळा करत होता तोच आता ते पसरवतो. याचा दुसरा परिणाम कमी वेळा विचारला जातो पण लक्षात ठेवण्यासारखा आहे: नाभीय लांबीचे मूल्यही वाढते. (n_भिंग/n_माध्यम − 1) हा घटक हवेतील (n_भिंग − 1) पेक्षा आकाराने लहान असतो, म्हणून 1/f लहान होते, f लांब होते आणि भिंगाची क्षमता P = 1/f घटते. भोवतालचे माध्यम भिंगाइतक्याच प्रकाशीय घनतेचे असेल तर भिंग केवळ उलटेच नाही तर दुर्बलही होते, आणि दोन्ही अपवर्तनांक अगदी समान झाले तर कंस पूर्णपणे शून्य होतो, 1/f शून्य होते आणि नाभीय लांबी अनंत होते — भिंग प्रकाश वाकवण्याचे थांबते आणि प्रकाशीयदृष्ट्या नाहीसेच होते. पानावरचा पर्याय (1) नेमके हेच करतो: तो खरा निष्कर्ष आहे, पण n_भिंग = n_माध्यम या अटीसाठी, प्रश्नाने दिलेल्या अटीसाठी नाही. बारकाईने वाचणाऱ्यासाठी एक नोंद. प्रश्न दुहेरी बहिर्वक्र भिंगासोबत दुहेरी अंतर्वक्र भिंगाचेही नाव घेतो, आणि उलटण्याचे तत्त्व दोन्हींना लागू आहे — त्याच सूत्रातून चालवले तर भोवतालचे माध्यम अधिक घन असताना प्रत्येक प्रकाराचे अभिसारी किंवा अपसारी स्वरूप उलटे होते. म्हणून या प्रश्नातून घेऊन जाण्याजोगा भौतिक नियम हा उलटण्याचा नियमच आहे: भिंगाच्या पदार्थापेक्षा घन माध्यमात अभिसारी भिंग अपसारी होते आणि अपसारी भिंग अभिसारी होते. या पेपरात आयोगाची अंतिम उत्तरतालिका पर्याय (4) आहे, जो दुहेरी बहिर्वक्र भिंगाच्या बाबतीतला निष्कर्ष आहे, आणि गुण अंतिम उत्तरतालिकेवरच ठरतो.

• (1)अनंत — पर्याय (1) एका खऱ्या निष्कर्षाला चुकीच्या अटीला जोडतो, आणि म्हणूनच तो नुसत्या मूर्खपणाच्या पर्यायापेक्षा जास्त धोकादायक आहे. नाभीय लांबी अनंत होते ती भिंगाचा आणि माध्यमाचा अपवर्तनांक समान असताना — तेव्हा (n_भिंग/n_माध्यम − 1) हा कंस अगदी शून्य होतो, 1/f शून्य होते आणि भिंग प्रकाश मुळीच वाकवत नाही, म्हणजे ते प्रकाशीयदृष्ट्या अदृश्य होते. प्रश्नाची अट मात्र माध्यम भिंगापेक्षा जास्त अपवर्तनांकाचे असणे ही आहे, समान असणे ही नाही; समानतेच्या पलीकडे गेल्यावर कंस शून्यावर थांबत नाही, तो ऋण होतो.
• (2)शून्य — पर्याय (2) मध्ये कोणतीही भौतिक अट बसत नाही. नाभीय लांबी शून्य होण्यासाठी 1/f अनंत व्हावे लागेल, म्हणजे भिंगाची क्षमता अमर्याद व्हावी लागेल — दोन कंसांच्या गुणाकाराने बनलेल्या उजव्या बाजूला हे कोणत्याही सीमित अपवर्तनांकांसाठी आणि सीमित वक्रता त्रिज्यांसाठी घडत नाही. माध्यम घन केल्याने नेमके याच्या उलट घडते: घटक लहान होतो, 1/f लहान होते आणि नाभीय लांबी वाढते. म्हणजे हा पर्याय बदलाची दिशाही उलटी दाखवतो. 'शून्य' आणि 'अनंत' हे दोन्ही पर्याय शेजारी छापलेले असतील तेव्हा त्यांपैकी कोणता कोणत्या अटीचा आहे हे तपासणे उपयोगी ठरते.
• (3)धन (+) — पर्याय (3) हा उलटण्याचे तत्त्व लक्षात न घेतलेल्या उमेदवाराचा नैसर्गिक पर्याय आहे. दुहेरी बहिर्वक्र भिंगाची नाभीय लांबी धन असते हे खरे, पण ते भिंग हवेत — किंवा अधिक सर्वसाधारणपणे, स्वतःपेक्षा विरल माध्यमात — असताना. प्रश्न नेमकी उलटी परिस्थिती देतो. माध्यम अधिक घन असल्याने (n_भिंग/n_माध्यम − 1) हा कंस ऋण होतो आणि 1/f चे चिन्ह उलटते, म्हणजे हवेत धन असलेली नाभीय लांबी आता ऋण होते. भिंगाचा आकार बदललेला नाही, पण नाभीय लांबीचे चिन्ह आकाराने नव्हे तर भिंग व माध्यम यांच्यातील प्रकाशीय घनतेच्या फरकाने ठरते — हा प्रश्न मुळात तेच तपासतो.

भिंग प्रकाश वाकवते ते त्याच्या आकारामुळे नव्हे, तर त्याच्या पदार्थाचा आणि भोवतालच्या माध्यमाचा अपवर्तनांक वेगळा असल्यामुळे. भिंग निर्मात्याचे सूत्र (lensmaker's formula) हेच सांगते: 1/f = (n_भिंग/n_माध्यम − 1)(1/R₁ − 1/R₂). यात दोन स्वतंत्र कंस आहेत आणि त्यांचा अर्थ वेगळा आहे. आकाराचा कंस (1/R₁ − 1/R₂) भिंगाच्या दोन पृष्ठांच्या वक्रता त्रिज्यांवरून ठरतो: दुहेरी बहिर्वक्र भिंगासाठी तो धन येतो आणि दुहेरी अंतर्वक्र भिंगासाठी ऋण. माध्यमाचा कंस (n_भिंग/n_माध्यम − 1) भोवताल ठरवतो: भिंग अधिक घन असेल तर तो धन, भोवताल अधिक घन असेल तर तो ऋण, आणि दोन्ही समान असतील तर तो अगदी शून्य. नाभीय लांबीचे चिन्ह या दोन कंसांच्या गुणाकाराचे चिन्ह असते, आणि म्हणून एकच भिंग वेगवेगळ्या माध्यमांत वेगवेगळे वागू शकते. कार्टेशियन चिन्ह संकेतानुसार धन नाभीय लांबी म्हणजे अभिसारी भिंग आणि ऋण नाभीय लांबी म्हणजे अपसारी भिंग; भिंगाची क्षमता P = 1/f (f मीटरमध्ये असताना डायऑप्टरमध्ये) असल्याने चिन्ह उलटले की क्षमतेचे चिन्हही उलटते. यातून एक साधा पण महत्त्वाचा निष्कर्ष निघतो: 'अभिसारी भिंग' आणि 'बहिर्वक्र भिंग' या एकाच गोष्टीच्या दोन संज्ञा नाहीत — आकार कायम असतो, वर्तन माध्यमावर बदलते.

याच तत्त्वाची अनेक परिचित रूपे आहेत आणि परीक्षक त्यांतूनच उदाहरणे उचलतो. पाण्यातील हवेचा बुडबुडा हा आकाराने बहिर्वक्र असूनही अपसारी असतो, कारण हवा पाण्यापेक्षा प्रकाशीयदृष्ट्या विरल आहे. कार्बन डायसल्फाइडमध्ये बुडवलेले क्राउन काचेचे बहिर्वक्र भिंग अपसारी होते, कारण त्या द्रवाचा अपवर्तनांक काचेपेक्षा जास्त आहे. याच्या उलट, पाण्यात बुडवलेले काचेचे भिंग अभिसारीच राहते पण दुर्बल होते — कारण काच पाण्यापेक्षा घन असल्याने कंस धनच राहतो, फक्त लहान होतो; म्हणूनच पाण्याखाली उघड्या डोळ्यांनी नीट दिसत नाही, कारण डोळ्यातील कॉर्नियाचा आणि पाण्याचा अपवर्तनांक जवळपास सारखा असल्याने कॉर्नियाची अपवर्तनक्षमता जवळजवळ संपते, आणि पोहण्याचा चष्मा डोळ्यासमोर पुन्हा हवेचा थर आणून तीच क्षमता परत मिळवून देतो. आणखी एक सुंदर उपयोजन म्हणजे प्रकाशीय दृष्टिभ्रमाचा (invisibility) प्रयोग: काचेची वस्तू तिच्याच अपवर्तनांकाच्या द्रवात बुडवली की ती जवळपास दिसेनाशी होते, कारण सीमेवर अपवर्तनही होत नाही आणि परावर्तनही जवळपास होत नाही. महाराष्ट्राच्या उच्च माध्यमिक अभ्यासक्रमात हा भाग किरण प्रकाशशास्त्रात भिंगसूत्र, आवर्धन आणि भिंगांची जोडणी यांच्यासोबत येतो.

• माध्यमातील भिंगासाठी भिंग निर्मात्याचे सूत्र: 1/f = (n_भिंग/n_माध्यम − 1)(1/R₁ − 1/R₂). माध्यम फक्त पहिल्या कंसातून आणि भिंगाचा आकार फक्त दुसऱ्या कंसातून सूत्रात येतो.
• भोवतालचे माध्यम भिंगाच्या पदार्थापेक्षा प्रकाशीयदृष्ट्या घन असेल तर पहिला कंस ऋण होतो आणि 1/f चे चिन्ह उलटते — म्हणजे भिंगाचे अभिसारी किंवा अपसारी स्वरूप उलटे होते.
• माध्यमाचा आणि भिंगाचा अपवर्तनांक समान असेल तर कंस शून्य होतो, 1/f शून्य होते आणि नाभीय लांबी अनंत होते: भिंग किरण एकत्रही आणत नाही व पसरवतही नाही, ते प्रकाशीयदृष्ट्या नाहीसे होते.
• प्रमाणित उदाहरणे: सुमारे 1.5 अपवर्तनांकाचे क्राउन काचेचे बहिर्वक्र भिंग सुमारे 1.63 अपवर्तनांकाच्या कार्बन डायसल्फाइडमध्ये बुडवल्यास अपसारी वागते; पाण्यातील हवेचा बुडबुडा आकाराने बहिर्वक्र असूनही भोवतालपेक्षा विरल असल्याने अपसारी वागतो.
• कार्टेशियन चिन्ह संकेतानुसार धन नाभीय लांबी अभिसारी भिंग दर्शवते आणि ऋण नाभीय लांबी अपसारी भिंग; क्षमता P = 1/f डायऑप्टरमध्ये असते (f मीटरमध्ये), म्हणून चिन्ह उलटले की क्षमतेचे चिन्हही उलटते.

• 'बहिर्वक्र' आणि 'अभिसारी' या संज्ञा समानार्थी मानणे. आकार कायम राहतो पण वर्तन भोवतालच्या माध्यमावर बदलते, आणि हा प्रश्न नेमका तोच भेद तपासतो.
• नाभीय लांबी अनंत होण्याची अट चुकीच्या ठिकाणी लावणे. ती भिंग व माध्यम यांचे अपवर्तनांक समान असताना येते, माध्यम भिंगापेक्षा घन असताना नाही.
• चिन्ह उलटले तरी मूल्य तेच राहते असे गृहीत धरणे. माध्यम घन झाल्याने घटक लहान होतो, त्यामुळे नाभीय लांबीचे मूल्य वाढते आणि भिंगाची क्षमता घटते — भिंग उलटेही होते आणि दुर्बलही.
• आरशाला हाच नियम लावणे. आरशाचे वर्तन परावर्तनावर चालते आणि परावर्तन अपवर्तनांकावर अवलंबून नसते, म्हणून पाण्यात बुडवलेल्या अंतर्वक्र आरशाची नाभीय लांबी बदलत नाही — भिंगाची मात्र बदलते.

किरण प्रकाशशास्त्रावर MPSC नियमितपणे प्रश्न विचारते आणि भिंगांवरचे प्रश्न तीन साच्यांत येतात. पहिला हाच अटी-आधारित — माध्यम बदलले तर काय होते, अपवर्तनांक समान झाले तर काय होते, भिंग पाण्यात बुडवले तर क्षमता वाढते की घटते. दुसरा गणिती — भिंगसूत्र किंवा क्षमतेच्या बेरजेवर आधारित लहान आकडेमोड, जिथे चिन्ह संकेत नीट लावणे हाच अर्धा प्रश्न असतो. तिसरा उपयोजनांचा — डोळ्यातील दृष्टिदोष व त्यावरील भिंगे, भिंगातील विकृती, आणि प्रकाशीय तंतूमधील पूर्ण अंतर्गत परावर्तन. या भागाची तयारी सूत्र पाठ करून नव्हे तर सूत्रातील प्रत्येक कंसाचा अर्थ समजून करा: कोणता कंस आकार सांगतो, कोणता माध्यम सांगतो, आणि उत्तराचे चिन्ह कोण ठरवते. हे एकदा स्पष्ट झाले की माध्यम बदलण्याचे सगळे प्रश्न एकाच पद्धतीने सुटतात.

या प्रश्नाशी थेट संबंधित मागील PYQ आढळला नाही.

• सराव प्रश्न — प्रत्यक्ष PYQ नाही

  काचेचे बहिर्वक्र भिंग पाण्यात बुडवल्यास त्याच्या नाभीय लांबीचे काय होते ?

  • (a)ती ऋण होते आणि भिंग अपसारी बनते
  • (b)ती धनच राहते पण तिचे मूल्य वाढते
  • (c)ती धनच राहते आणि तिचे मूल्य घटते
  • (d)ती शून्य होते

  उत्तर(b) ती धनच राहते पण तिचे मूल्य वाढते. काचेचा अपवर्तनांक (सुमारे 1.5) पाण्यापेक्षा (सुमारे 1.33) जास्त असल्याने (n_भिंग/n_माध्यम − 1) हा कंस धनच राहतो — म्हणजे भिंग अभिसारीच राहते. पण हा कंस हवेतल्यापेक्षा लहान होतो, त्यामुळे 1/f लहान होते, नाभीय लांबी वाढते आणि भिंगाची क्षमता घटते. चिन्ह उलटण्यासाठी माध्यम काचेपेक्षा घन असावे लागेल, जसे कार्बन डायसल्फाइड.

• सराव प्रश्न — प्रत्यक्ष PYQ नाही

  एखादी काचेची वस्तू अशा द्रवात बुडवली की तिचा आणि द्रवाचा अपवर्तनांक तंतोतंत समान आहे. अशा वेळी काय दिसेल ?

  • (a)वस्तू अधिक स्पष्ट व मोठी दिसेल
  • (b)वस्तू जवळपास अदृश्य होईल
  • (c)वस्तू उलटी दिसेल
  • (d)वस्तूभोवती इंद्रधनुष्यासारखे रंग दिसतील

  उत्तर(b) वस्तू जवळपास अदृश्य होईल. आपल्याला वस्तू दिसते ती तिच्या सीमेवर होणाऱ्या अपवर्तन व परावर्तनामुळे; दोन्ही बाजूंचे अपवर्तनांक समान झाले की सीमेवर प्रकाश वाकतच नाही आणि परावर्तनही जवळपास होत नाही, त्यामुळे सीमारेषा नाहीशी होते. भिंगाच्या भाषेत सांगायचे तर (n_भिंग/n_माध्यम − 1) हा कंस शून्य होतो, 1/f शून्य होते आणि नाभीय लांबी अनंत — म्हणजे भिंग प्रकाशीयदृष्ट्या अस्तित्वातच नसल्यासारखे वागते.