भौतिक प्रमाण आणि त्यांचे परिमाण यांच्या योग्य जोड्या लावा. स्तंभ - I (a) पारगम्यता (Permeability) (μ₀) (b) चिकटपणाचा गुणांक (Coefficient of Viscosity) (η) (c) प्लँकचा स्थिरांक (Planck's Constant) (h) स्तंभ - II (i) ML²T⁻¹ (ii) MLT⁻²I⁻² (iii) ML⁻¹T⁻¹ (जिथे M म्हणजे वस्तुमान, L म्हणजे लांबी, T म्हणजे वेळ आणि I म्हणजे विद्युतप्रवाह).
- (1)(a)-(iii), (b)-(i), (c)-(ii)
- (2)(a)-(ii), (b)-(i), (c)-(iii)
- (3)(a)-(ii), (b)-(iii), (c)-(i)
- (4)(a)-(i), (b)-(ii), (c)-(iii)
बरोबर — पर्याय (3), "(a)-(ii), (b)-(iii), (c)-(i)". जोड्या लावण्याचा हा प्रश्न तीन परिमाणे पाठ न करताही सुटतो, कारण प्रत्येक राशीचे परिमाण तिच्या व्याख्येच्या सूत्रातून काही सेकंदांत काढता येते. तिन्ही काढून पाहू. पारगम्यता (μ₀). ती जिथून येते ते सोपे सूत्र म्हणजे दोन समांतर प्रवाहवाही तारांमधील प्रति एकक लांबीचे बल: F/L = μ₀I₁I₂ / (2πd). यातून μ₀ = (F/L) × d / I². आता बलाचे परिमाण MLT⁻², म्हणून F/L चे परिमाण MT⁻²; त्याला अंतराने (L) गुणले की MLT⁻²; आणि प्रवाहाच्या वर्गाने (I²) भागले की MLT⁻²I⁻². म्हणजे (a) ची जोडी (ii) शी. चिकटपणाचा गुणांक (η). त्याची व्याख्या न्यूटनच्या श्यान बलाच्या सूत्रातून येते: F = ηA(dv/dx), म्हणजे η = F / [A × (dv/dx)]. बलाचे परिमाण MLT⁻², क्षेत्रफळाचे L², आणि वेग प्रवणतेचे (dv/dx) परिमाण म्हणजे वेग भागिले लांबी, म्हणजे LT⁻¹/L = T⁻¹. म्हणून η = MLT⁻² / (L² × T⁻¹) = ML⁻¹T⁻¹. म्हणजे (b) ची जोडी (iii) शी. प्लँकचा स्थिरांक (h). त्याचे व्याख्यासूत्र सर्वात सोपे आहे: E = hν, म्हणून h = E/ν. ऊर्जेचे परिमाण ML²T⁻² आणि वारंवारतेचे T⁻¹, म्हणून h = ML²T⁻² / T⁻¹ = ML²T⁻¹. म्हणजे (c) ची जोडी (i) शी. हेच परिमाण कोनीय संवेगाचेही आहे — आणि ते योगायोग नाही, कारण h ला 2π ने भागून मिळणारा ħ हा स्थिरांक क्वांटम यामिकीत कोनीय संवेगाचे नैसर्गिक एकक आहे. (a)-(ii), (b)-(iii), (c)-(i) — म्हणजे पर्याय (3). परीक्षेच्या हॉलमध्ये तिन्ही सूत्रे आठवत नसतील तरी हा प्रश्न दोन पावलांत सुटतो, आणि ती दोन पावले लक्षात ठेवण्यासारखी आहेत. पहिले पाऊल: स्तंभ-II मधील तीन नोंदींपैकी फक्त (ii) मध्ये I हे परिमाण आहे, आणि स्तंभ-I मधील तीन राशींपैकी फक्त पारगम्यतेचा विद्युतप्रवाहाशी संबंध आहे — चिकटपणा हा प्रवाही पदार्थांचा गुणधर्म आहे आणि प्लँकचा स्थिरांक क्वांटम भौतिकीचा; दोघांचाही विद्युतप्रवाहाशी काहीही संबंध नाही. म्हणून (a)-(ii) ही जोडी भाग पडते, आणि तिच्यामुळे पर्याय (1) व पर्याय (4) दोन्ही एकाच वेळी मरतात. दुसरे पाऊल: उरलेले पर्याय (2) व (3) फक्त (b) आणि (c) यांच्या अदलाबदलीत वेगळे आहेत, म्हणजे आता एकच निवाडा उरतो — प्लँकचा स्थिरांक ML²T⁻¹ आहे की ML⁻¹T⁻¹. E = hν हे एकच सूत्र तो निवाडा करते. जोड्यांच्या प्रश्नात नेहमी सर्वात वेगळे दिसणारे लक्षण आधी शोधा — इथे ते I हे परिमाण होते — कारण एक जोडी निश्चित झाली की उरलेला प्रश्न निम्म्याहून लहान होतो.
- (1)(a)-(iii), (b)-(i), (c)-(ii) — पर्याय (1) तिन्ही जोड्या चुकवतो आणि त्यातील सर्वात ठळक चूक म्हणजे तो प्लँकच्या स्थिरांकाला MLT⁻²I⁻² हे परिमाण देतो — म्हणजे विद्युतप्रवाह असलेले परिमाण अशा राशीला देतो जिचा विद्युतप्रवाहाशी काहीही संबंध नाही. प्लँकचा स्थिरांक E = hν या संबंधातून येतो आणि त्यात ऊर्जा व वारंवारता या दोनच राशी आहेत; त्यांपैकी कोणत्याही राशीच्या परिमाणात I येत नाही, म्हणून h च्या परिमाणातही तो येऊ शकत नाही. शिवाय हा पर्याय पारगम्यतेला ML⁻¹T⁻¹ देतो, जे प्रत्यक्षात चिकटपणाच्या गुणांकाचे परिमाण आहे.
- (2)(a)-(ii), (b)-(i), (c)-(iii) — पर्याय (2) पहिली जोडी बरोबर लावतो — पारगम्यता आणि MLT⁻²I⁻² — आणि म्हणूनच तो सर्वात धोकादायक चुकीचा पर्याय आहे: पहिली जोडी जुळल्याचे समाधान मिळून उमेदवार पुढे तपासत नाही. पण तो चिकटपणाला ML²T⁻¹ आणि प्लँकच्या स्थिरांकाला ML⁻¹T⁻¹ देऊन दोघांची अदलाबदल करतो. E = hν वरून h = ML²T⁻¹ येते, आणि F = ηA(dv/dx) वरून η = ML⁻¹T⁻¹ येते. लक्षात ठेवण्याचा सोपा आधार: चिकटपणाच्या परिमाणात L चा घातांक ऋण आहे (ते श्यानतेच्या SI एककाच्या — पास्कल-सेकंदाच्या — रूपातही दिसते), तर प्लँकच्या स्थिरांकात L चा घातांक धन आणि दोन आहे, कारण त्यात ऊर्जा दडलेली आहे.
- (4)(a)-(i), (b)-(ii), (c)-(iii) — पर्याय (4) चिकटपणाच्या गुणांकाला MLT⁻²I⁻² हे परिमाण देतो, म्हणजे प्रवाही पदार्थाच्या गुणधर्माच्या परिमाणात विद्युतप्रवाह आणतो. चिकटपणा हा बल, क्षेत्रफळ आणि वेग प्रवणता या तीनच राशींतून व्याख्यित होतो आणि त्यांपैकी कोणतीही विद्युतशास्त्रीय नाही, त्यामुळे त्याच्या परिमाणात I येणे अशक्य आहे. उलट पारगम्यता, जी मूलतःच प्रवाहवाही तारांमधील बलातून व्याख्यित होते, या पर्यायात ML²T⁻¹ अशी I विरहित दाखवली आहे. एका नजरेत I कुठे असावा हे तपासले तर हा पर्याय पहिल्याच पावलात बाद होतो.
परिमाणांचे विश्लेषण म्हणजे कोणतीही भौतिक राशी मूलभूत राशींच्या घातांकांत मांडणे. यांत्रिकीसाठी वस्तुमान (M), लांबी (L) आणि वेळ (T) एवढ्या तीनच पुरतात; विद्युतशास्त्रात विद्युतप्रवाह (I) जोडावा लागतो, आणि उष्णताशास्त्रात तापमान (K). हे तंत्र वापरण्याची पद्धत एकच: राशीची व्याख्या करणारे सूत्र लिहा आणि त्यातील प्रत्येक घटकाच्या जागी त्याचे परिमाण घाला. उदाहरणार्थ बल = वस्तुमान × त्वरण = M × LT⁻² = MLT⁻²; कार्य किंवा ऊर्जा = बल × अंतर = ML²T⁻²; शक्ती = ऊर्जा ÷ वेळ = ML²T⁻³. या तंत्राचे तीन उपयोग आहेत आणि तिन्ही परीक्षोपयोगी आहेत. पहिला, एककांचे रूपांतर — एका पद्धतीतून दुसऱ्या पद्धतीत जाताना गुणक काढणे. दुसरा, समीकरणाची तपासणी — कोणत्याही खऱ्या भौतिक समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंची परिमाणे समान असावी लागतात, आणि नसतील तर समीकरण नक्कीच चुकीचे आहे. तिसरा, संबंध बांधणे — कोणती राशी कशावर अवलंबून आहे हे माहीत असेल तर स्थिरांकाखेरीज संपूर्ण सूत्र परिमाणांवरून उभे करता येते. या तंत्राची मर्यादाही लक्षात ठेवा: ते अदिश स्थिरांक (2, π, ½ यांसारखे) देऊ शकत नाही, आणि समान परिमाणांच्या दोन वेगळ्या राशींत — जसे कार्य आणि बलआघूर्ण, दोन्ही ML²T⁻² — फरक करू शकत नाही.
या प्रश्नातील तीन राशी भौतिकशास्त्राच्या तीन वेगवेगळ्या शाखांतून आलेल्या आहेत, आणि प्रत्येकीचे स्वतःचे संदर्भमूल्य लक्षात ठेवण्यासारखे आहे. निर्वात पारगम्यता μ₀ ही चुंबकत्वातील मूलभूत स्थिरांक असून तिचे मूल्य सुमारे 4π × 10⁻⁷ हेन्री प्रति मीटर आहे; ती निर्वात पार्यता ε₀ आणि प्रकाशाचा वेग c यांच्याशी c = 1/√(μ₀ε₀) या सुंदर संबंधाने जोडलेली आहे, आणि हा संबंध प्रकाश हीच विद्युतचुंबकीय लहर असल्याचा मॅक्सवेलचा निष्कर्ष देतो. चिकटपणाचा गुणांक η हा प्रवाही पदार्थांचा गुणधर्म असून त्याचे SI एकक पास्कल-सेकंद आहे; तो द्रवाच्या थरांमधील अंतर्गत घर्षण मोजतो, तापमान वाढल्यावर द्रवांत घटतो आणि वायूंत वाढतो, आणि स्टोक्सचा नियम व रेनॉल्ड्स संख्या यांसारख्या पुढील संकल्पनांचा आधार आहे. प्लँकचा स्थिरांक h हा क्वांटम भौतिकीचा पायाभूत स्थिरांक असून त्याचे मूल्य सुमारे 6.626 × 10⁻³⁴ ज्यूल-सेकंद आहे; तो 1900 मध्ये मॅक्स प्लँक यांनी कृष्णिका प्रारणाचे स्पष्टीकरण देताना मांडला आणि पुढे आइन्स्टाइनच्या प्रकाशविद्युत परिणामात व बोरच्या अणुप्रतिमानात मध्यवर्ती ठरला. 2019 च्या एकक-पुनर्व्याख्येत h चे मूल्य अचूक निश्चित करून त्यावरून किलोग्रॅम परिभाषित करण्यात आले.
- पारगम्यता μ₀ चे परिमाण MLT⁻²I⁻² आहे. ते F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) या समांतर प्रवाहवाही तारांमधील बलाच्या सूत्रातून निघते; निर्वात पारगम्यतेचे मूल्य सुमारे 4π × 10⁻⁷ हेन्री प्रति मीटर आहे.
- चिकटपणाच्या गुणांकाचे परिमाण ML⁻¹T⁻¹ आहे. ते F = ηA(dv/dx) या न्यूटनच्या श्यान बलाच्या सूत्रातून निघते, आणि त्याचे SI एकक पास्कल-सेकंद आहे.
- प्लँकच्या स्थिरांकाचे परिमाण ML²T⁻¹ आहे. ते E = hν या सूत्रातून निघते — ऊर्जा भागिले वारंवारता — आणि हेच परिमाण कोनीय संवेगाचेही आहे; h चे मूल्य सुमारे 6.626 × 10⁻³⁴ ज्यूल-सेकंद.
- परिमाणांच्या विश्लेषणाची पद्धत एकच: राशीचे व्याख्यासूत्र लिहून त्यातील प्रत्येक घटकाच्या जागी त्याचे परिमाण घालणे. बल MLT⁻², कार्य व ऊर्जा ML²T⁻², शक्ती ML²T⁻³ ही मूळ बांधकामाची विटा आहेत.
- परिमाणांच्या विश्लेषणाच्या मर्यादा: ते 2, π किंवा ½ यांसारखे अदिश स्थिरांक देऊ शकत नाही, आणि समान परिमाणांच्या वेगवेगळ्या राशींत — जसे कार्य व बलआघूर्ण, दोन्ही ML²T⁻² — फरक करू शकत नाही.
पारगम्यता हीच एकमेव विद्युतचुंबकीय राशी आणि (ii) हेच एकमेव परिमाण ज्यात I आहे, म्हणून (a)-(ii) पाहताक्षणी पक्के होते — एवढ्यानेच पर्याय (1) आणि (4) बाद होतात. मग प्लँकच्या स्थिरांकाची एक ओळ (2) आणि (3) वेगळे करते.
- परिमाणे पाठ करण्याचा प्रयत्न करणे. तीन राशींची परिमाणे पाठ करण्यापेक्षा तीन व्याख्यासूत्रे लक्षात ठेवणे कमी श्रमाचे आणि अधिक भरवशाचे असते, कारण सूत्रावरून परिमाण दर वेळी नव्याने काढता येते.
- चिकटपणाचा गुणांक आणि प्लँकचा स्थिरांक यांची अदलाबदल करणे. चिकटपणात L चा घातांक ऋण आहे (ML⁻¹T⁻¹) आणि प्लँकच्या स्थिरांकात तो धन व दोन आहे (ML²T⁻¹), कारण त्यात ऊर्जा दडलेली आहे.
- जोड्यांच्या प्रश्नात पहिली जोडी जुळताच पर्याय निवडणे. या प्रश्नात दोन पर्याय पहिली जोडी बरोबरच दाखवतात आणि पुढच्या दोन जोड्यांच्या अदलाबदलीतच फरक करतात.
- विद्युतप्रवाहाचे परिमाण कोणत्या राशीत असू शकते हे न तपासणे. तिन्ही राशींपैकी फक्त पारगम्यतेचा विद्युतप्रवाहाशी संबंध आहे, आणि हे एक निरीक्षण चारपैकी दोन पर्याय पहिल्याच पावलात बाद करते.
परिमाणांवरचे प्रश्न MPSC ला तीन साच्यांत येतात. पहिला हाच जोड्या लावण्याचा — तीन किंवा चार राशी आणि तेवढीच परिमाणे, आणि पर्याय एकमेकांच्या अदलाबदलीने बनवलेले. दुसरा 'समान परिमाणे कोणत्या दोन राशींची' असा — कार्य व बलआघूर्ण, संवेग व आवेग, प्लँकचा स्थिरांक व कोनीय संवेग, दाब व स्थितिस्थापकता गुणांक अशा ठरलेल्या जोड्या यात येतात. तिसरा एककांचा — दिलेल्या राशीचे SI एकक कोणते, किंवा दिलेले एकक कोणत्या राशीचे. तिन्हींसाठी तयारीची पद्धत एकच आहे आणि ती पाठांतराची नाही: दहा-बारा मूलभूत व्याख्यासूत्रे पक्की करा — बल, कार्य, शक्ती, दाब, संवेग, E = hν, F = ηA(dv/dx) — आणि प्रत्येक वेळी परिमाण जागीच काढा. ही सवय लागल्यावर या भागातील प्रश्न पाठांतरावर नव्हे तर तीस सेकंदांच्या गणितावर सुटतात.
या प्रश्नाशी थेट संबंधित मागील PYQ आढळला नाही.
- सराव प्रश्न — प्रत्यक्ष PYQ नाही
खालीलपैकी कोणत्या दोन राशींची परिमाणे समान आहेत ?
- (a)प्लँकचा स्थिरांक आणि कोनीय संवेग
- (b)प्लँकचा स्थिरांक आणि ऊर्जा
- (c)चिकटपणाचा गुणांक आणि दाब
- (d)पारगम्यता आणि बल
उत्तर(a) प्लँकचा स्थिरांक आणि कोनीय संवेग. दोघांचेही परिमाण ML²T⁻¹ आहे — प्लँकचा स्थिरांक E = hν वरून (ऊर्जा भागिले वारंवारता) आणि कोनीय संवेग L = mvr वरून (वस्तुमान × वेग × त्रिज्या). हा योगायोग नाही: h ला 2π ने भागून मिळणारा ħ हा क्वांटम यामिकीत कोनीय संवेगाचे नैसर्गिक एकक आहे, आणि बोरच्या अणुप्रतिमानातील कोनीय संवेगाचे क्वांटीकरणही याच रूपात मांडले जाते.
- सराव प्रश्न — प्रत्यक्ष PYQ नाही
चिकटपणाच्या गुणांकाचे SI एकक कोणते ?
- (a)न्यूटन प्रति चौरस मीटर
- (b)पास्कल-सेकंद
- (c)ज्यूल-सेकंद
- (d)न्यूटन-मीटर
उत्तर(b) पास्कल-सेकंद. चिकटपणाचा गुणांक F = ηA(dv/dx) या सूत्रातून येतो, म्हणून त्याचे परिमाण ML⁻¹T⁻¹ आणि एकक पास्कल-सेकंद. पर्याय (a) हे दाबाचे एकक आहे, (c) हे प्लँकच्या स्थिरांकाचे आणि (d) हे कार्याचे किंवा बलआघूर्णाचे — म्हणजे तिन्ही चुकीचे पर्याय याच प्रकरणातील शेजारच्या राशींतून घेतलेले आहेत, जी परीक्षकाची नेहमीची पद्धत आहे.