5 वर्ष पहले, एक पति और उसकी पत्नी की औसत आयु 23 वर्ष थी, जब उनका विवाह हुआ था । पति, पत्नी और उनके बच्चे की औसत आयु अब 20 वर्ष है । बच्चे की आयु अब कितनी है ?

सही उत्तर — D, (d) 4 वर्ष । इस प्रश्न का पूरा भार एक ही चरण पर टिका है, और वही चरण अधिकांश अभ्यर्थियों से छूटता है — जब दो व्यक्ति पाँच वर्ष बड़े होते हैं, तो उनकी आयु का योग पाँच नहीं, दस बढ़ता है । हल इसी क्रम में चलिए । पाँच वर्ष पहले पति और पत्नी की औसत आयु 23 वर्ष थी, इसलिए उस समय दोनों की आयु का योग था 2 गुणा 23, अर्थात् 46 वर्ष । अब पाँच वर्ष बीत चुके हैं और इस बीच दोनों में से हर एक पाँच वर्ष बड़ा हुआ है, इसलिए योग में 2 गुणा 5, अर्थात् 10 वर्ष जुड़ेंगे । अब पति और पत्नी की आयु का योग है 46 जोड़ 10, अर्थात् 56 वर्ष । दूसरी ओर, प्रश्न कहता है कि इस समय पति, पत्नी और उनके बच्चे की औसत आयु 20 वर्ष है, इसलिए तीनों की आयु का योग है 3 गुणा 20, अर्थात् 60 वर्ष । बच्चे की आयु इन्हीं दो योगों का अंतर है : 60 घटा 56, अर्थात् 4 वर्ष । उत्तर की जाँच भी उतनी ही सरल है और उसे कर लेना चाहिए । यदि बच्चा 4 वर्ष का है तो पति और पत्नी की आयु का योग 56 हुआ, अर्थात् उनकी वर्तमान औसत आयु 28 वर्ष — जो ठीक 23 जोड़ 5 है, जैसा होना चाहिए । और तीनों का योग 60 हुआ, जिसका औसत 20 वर्ष है, जैसा प्रश्न कहता है । दोनों शर्तें मिलती हैं, इसलिए उत्तर ठीक है । ध्यान दीजिए कि प्रश्न में विवाह का उल्लेख केवल यह बताने के लिए है कि पाँच वर्ष पहले वाली स्थिति किस अवसर की है ; उससे कोई अतिरिक्त सूचना नहीं मिलती और उसे हल में लाने की आवश्यकता नहीं । औसत के प्रश्नों में यही सबसे उपयोगी नियम है — औसत पर काम मत कीजिए, योग पर कीजिए ; औसत को व्यक्तियों की संख्या से गुणा करके योग बना लीजिए और फिर योगों का हिसाब लगाइए ।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (a)9 महीने — नौ का अंक इस प्रश्न में तब निकलता है जब कोई अभ्यर्थी दंपति के योग में पाँच वर्ष केवल एक बार जोड़ता है, दो बार नहीं । तब उसे योग 46 जोड़ 5, अर्थात् 51 मिलेगा, और 60 घटा 51 से नौ आ जाएगा । यही इस प्रश्न की सबसे आम चूक है, और औसत के हर ऐसे प्रश्न में लौटती है जिसमें समय बीतता है । नियम याद रखिए : n व्यक्तियों की आयु का योग t वर्ष में n गुणा t बढ़ता है, इसलिए दो व्यक्तियों का योग पाँच वर्ष में दस बढ़ता है । ध्यान दीजिए कि इस विकल्प की इकाई भी शेष तीनों से अलग है — यह अकेला विकल्प महीनों में है, जबकि शेष तीन वर्षों में हैं । इस प्रश्न की गणना पूरे वर्षों में उत्तर देती है, इसलिए इकाई का यह अंतर स्वयं एक संकेत है ।
• (b)1 वर्ष — एक वर्ष सुनने में स्वाभाविक लगता है, क्योंकि दंपति का विवाह पाँच वर्ष पहले हुआ था और बच्चा उसके बाद ही जन्मा होगा — इसलिए अभ्यर्थी को लगता है कि बच्चा बहुत छोटा होना चाहिए । किंतु प्रश्न अनुमान से नहीं, दिए गए दो औसतों से हल होता है, और वे दोनों मिलकर उत्तर 4 वर्ष देते हैं, जो पाँच वर्ष की विवाहित अवधि के भीतर ही है और इसलिए किसी विरोधाभास में भी नहीं पड़ता । जाँच का तरीक़ा यही है कि उत्तर को वापस प्रश्न में रखकर देखिए । यदि बच्चा एक वर्ष का होता, तो तीनों का योग 56 जोड़ 1, अर्थात् 57 होता और औसत 19 वर्ष निकलता — जबकि प्रश्न 20 वर्ष कहता है । अर्थात् यह विकल्प दी गई शर्त को ही तोड़ देता है ।
• (c)3 वर्ष — तीन वर्ष सही उत्तर से केवल एक कम है, और यही इसे ख़तरनाक बनाता है — जल्दबाज़ी में की गई गणना प्राय: एक अंक इधर-उधर हो जाती है । यहाँ भी वही जाँच काम करती है । यदि बच्चा तीन वर्ष का होता, तो तीनों की आयु का योग 56 जोड़ 3, अर्थात् 59 होता, और तीन व्यक्तियों का औसत 59 बटा 3 निकलता, जो 20 वर्ष नहीं है । अर्थात् यह विकल्प दी गई दूसरी शर्त पर खरा नहीं उतरता । इस प्रकार के प्रश्नों में उत्तर चुनने के बाद पंद्रह सेकंड की जाँच लगभग हमेशा फ़ायदे का सौदा होती है, क्योंकि दोनों शर्तें केवल एक ही संख्या पर एक साथ पूरी होती हैं और जाँच में केवल एक जोड़ और एक भाग लगता है ।

औसत की समस्याओं का सबसे भरोसेमंद तरीक़ा यह है कि औसत को तुरंत योग में बदल लिया जाए । किसी समूह का योग बराबर होता है औसत गुणा सदस्यों की संख्या, इसलिए हर वाक्य को पढ़ते ही उसका योग लिख लीजिए । इस प्रश्न में दो वाक्य दो योग देते हैं । पहला — पाँच वर्ष पहले दो व्यक्तियों का औसत 23, अर्थात् उस समय योग 46 । दूसरा — इस समय तीन व्यक्तियों का औसत 20, अर्थात् अभी योग 60 । बीच का पुल समय है, और समय का नियम यही है कि t वर्ष में n व्यक्तियों की आयु का योग n गुणा t बढ़ता है । दो व्यक्तियों के लिए पाँच वर्ष में यह वृद्धि दस वर्ष की होती है, इसलिए दंपति का वर्तमान योग 56 है । शेष केवल घटाव है : 60 घटा 56 बराबर 4 । यही ढाँचा आयु से जुड़ी लगभग हर औसत-समस्या पर लागू होता है — किसी समूह में कोई नया व्यक्ति जुड़ जाए, कोई निकल जाए, या कुछ वर्ष बीत जाएँ । तीनों दशाओं में योग की भाषा में सोचिए । जुड़ने और निकलने की दशा में एक और उपयोगी सूत्र है : यदि n सदस्यों वाले समूह में एक नया सदस्य जुड़ने पर औसत d से बदल जाए, तो नए सदस्य का मान पुराने औसत से n जोड़ 1 गुणा d जितना भिन्न होता है । किंतु परीक्षा में योग वाली सीधी विधि पर्याप्त और सुरक्षित रहती है, क्योंकि उसमें कोई सूत्र याद रखने की आवश्यकता नहीं ।

मुख्य तथ्य

• किसी समूह की आयु का योग बराबर होता है औसत गुणा सदस्यों की संख्या ; औसत की हर समस्या को सबसे पहले योग की भाषा में लिख लेना चाहिए ।
• t वर्ष बीतने पर n व्यक्तियों की आयु का योग n गुणा t बढ़ता है ; दो व्यक्तियों का योग पाँच वर्ष में दस बढ़ता है, पाँच नहीं ।
• पाँच वर्ष पहले दंपति की औसत आयु 23 वर्ष थी, इसलिए उस समय उनकी आयु का योग 2 गुणा 23 बराबर 46 वर्ष था ।
• पाँच वर्ष बाद उनका योग 46 जोड़ 10 बराबर 56 वर्ष हो जाता है, क्योंकि दोनों में से हर एक पाँच वर्ष बड़ा हुआ है ।
• इस समय तीनों की औसत आयु 20 वर्ष है, इसलिए पति, पत्नी और बच्चे की आयु का योग 3 गुणा 20 बराबर 60 वर्ष है ।
• बच्चे की आयु इन्हीं दो योगों का अंतर है — 60 घटा 56 बराबर 4 वर्ष ; यही प्रश्न का उत्तर है और वही कुंजी भी छापती है ।
• जाँच का तरीक़ा : बच्चा 4 वर्ष का हो तो दंपति का योग 56 और उनकी वर्तमान औसत आयु 28 वर्ष निकलती है, जो ठीक 23 जोड़ 5 के बराबर है ।
• प्रश्न में विवाह का उल्लेख केवल यह बताने के लिए है कि पाँच वर्ष पहले वाली स्थिति किस अवसर की है ; उससे कोई अतिरिक्त सूचना नहीं मिलती ।
• विकल्पों में एक इकाई महीनों की और शेष तीन वर्षों की हैं ; ऐसे मिश्रित समुच्चय में उत्तर चुनने से पहले इकाई मिला लेना आवश्यक है ।

सामान्य भ्रम

• दंपति के योग में पाँच वर्ष केवल एक बार जोड़ देना । दो व्यक्तियों के लिए पाँच वर्ष में योग दस बढ़ता है, पाँच नहीं ।
• औसत पर सीधे काम करना । पहले औसत को सदस्यों की संख्या से गुणा करके योग बनाइए, फिर योगों का ही हिसाब लगाइए ।
• विवाह के उल्लेख को कोई अतिरिक्त शर्त समझ लेना । वह केवल पाँच वर्ष पहले वाले समय को पहचानने के लिए है ।
• उत्तर की जाँच छोड़ देना । उत्तर वापस रखकर दोनों औसत मिला लेने में केवल एक जोड़ और एक भाग लगता है ।
• इकाई मिलाना भूल जाना । यहाँ एक विकल्प महीनों में है और शेष वर्षों में, और गणना पूरे वर्षों में उत्तर देती है ।

• practice — not a real PYQ

  तीन वर्ष पहले दो मित्रों की औसत आयु 25 वर्ष थी । आज उनके साथ एक तीसरा मित्र जुड़ जाता है और तीनों की औसत आयु 24 वर्ष हो जाती है । तीसरे मित्र की वर्तमान आयु कितनी है ?

  • (a)6 वर्ष
  • (b)10 वर्ष
  • (c)16 वर्ष
  • (d)18 वर्ष

  उत्तर(c) 16 वर्ष — तीन वर्ष पहले दोनों का योग 50, अब 50 जोड़ 6 बराबर 56 ; तीनों का योग 3 गुणा 24 बराबर 72, इसलिए तीसरे मित्र की आयु 72 घटा 56 बराबर 16 वर्ष ।

• practice — not a real PYQ

  किसी कक्षा के 20 विद्यार्थियों की औसत आयु 12 वर्ष है । यदि शिक्षक की आयु भी सम्मिलित कर ली जाए तो औसत आयु एक वर्ष बढ़ जाती है । शिक्षक की आयु कितनी है ?

  • (a)24 वर्ष
  • (b)30 वर्ष
  • (c)33 वर्ष
  • (d)36 वर्ष

  उत्तर(c) 33 वर्ष — 20 विद्यार्थियों का योग 240, इक्कीस व्यक्तियों का योग 21 गुणा 13 बराबर 273, इसलिए शिक्षक की आयु 273 घटा 240 बराबर 33 वर्ष ।