एक वृत्त की परिधि 2π cm है। वृत्त के अंदर अंकित (इन्स्क्राइब्ड) वर्ग का क्षेत्रफल है

सही उत्तर — D, (d) 2 cm²। निर्णायक चरण यह पहचानना है कि वृत्त के भीतर अंकित वर्ग का विकर्ण ही वृत्त का व्यास होता है — भुजा नहीं। वर्ग के चारों शीर्ष वृत्त पर हैं, इसलिए दो सम्मुख शीर्षों को जोड़ने वाली रेखा केन्द्र से होकर जाती है और वही व्यास बन जाती है।

अब क्रम से चलिए।

परिधि = 2πr = 2π cm, इसलिए त्रिज्या r = 1 cm।

व्यास = 2r = 2 cm, और यही अंकित वर्ग का विकर्ण है।

विकर्ण d वाले वर्ग का क्षेत्रफल d²/2 होता है, इसलिए क्षेत्रफल = 2²/2 = 4/2 = 2 cm²।

यदि विकर्ण वाला सूत्र याद न आए तो भुजा से भी वही उत्तर मिलता है — भुजा = विकर्ण/√2 = 2/√2 = √2 cm, और क्षेत्रफल = (√2)² = 2 cm²।

दो जाँचें साथ रखिए, क्योंकि वे तीनों ग़लत विकल्पों को एक साथ काट देती हैं। पहली, उत्तर में π आ ही नहीं सकता। π परिधि के रास्ते से आया था और त्रिज्या निकालते ही कट गया; उसके बाद जो कुछ बचा वह शुद्ध ज्यामिति है, और वर्ग के क्षेत्रफल में π का कोई स्थान नहीं। दूसरी, अंकित वर्ग वृत्त के भीतर बैठता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल वृत्त के क्षेत्रफल से कम होना ही चाहिए। यहाँ वृत्त का क्षेत्रफल πr² = π cm², यानी लगभग 3·14 cm² है, और 2 cm² उससे कम है — ठीक बैठता है।

एक सामान्य परिणाम भी याद रख लीजिए, क्योंकि वह ऐसे हर प्रश्न को एक पंक्ति में हल कर देता है। त्रिज्या r वाले वृत्त के भीतर अंकित वर्ग का क्षेत्रफल 2r² होता है और उसी वृत्त के बाहर बने वर्ग का क्षेत्रफल 4r²। बीच में वृत्त का अपना क्षेत्रफल πr² आता है, क्योंकि π का मान 2 और 4 के बीच है। यहाँ r = 1 है, इसलिए तीनों संख्याएँ क्रमशः 2, π और 4 बनती हैं — और यही क्रम इस प्रश्न के विकल्पों को परखने का सबसे तेज़ तरीक़ा है।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (a)π/2 cm² — π/2 cm² इस प्रश्न का सबसे भ्रामक विकल्प है, और उसका कारण एक लोकप्रिय अनुमान है — यह मान लेना कि वृत्त के भीतर अंकित वर्ग वृत्त का लगभग आधा घेर लेता है। यहाँ वृत्त का क्षेत्रफल π cm² है, इसलिए उसका आधा π/2 cm² हुआ। पर अनुमान ग़लत है: अंकित वर्ग का क्षेत्रफल 2r² और वृत्त का πr² होता है, इसलिए उनका अनुपात 2 : π, यानी लगभग 0·64 बनता है — वर्ग वृत्त का लगभग चौंसठ प्रतिशत घेरता है, आधा नहीं। दूसरी और अधिक निर्णायक बात यह है कि इस उत्तर में π बचा हुआ है। परिधि से त्रिज्या निकालते ही π कट जाता है, और उसके बाद केवल विकर्ण और भुजा का संबंध बचता है, जिसमें π आता ही नहीं। ध्यान रहे कि पुस्तिका में यह विकल्प दो मंज़िला भिन्न के रूप में छपा है, यहाँ उसे एक ही पंक्ति में लिखा गया है।
• (b)1 cm² — 1 cm² उस भूल से निकलता है जिसमें विकर्ण को दो से भाग देकर भुजा निकाल ली जाती है। व्यास 2 cm है, इसलिए विकर्ण भी 2 cm; उसे आधा करने पर भुजा 1 cm मान ली जाती है और क्षेत्रफल 1 cm² आ जाता है। पर वर्ग में भुजा विकर्ण की आधी नहीं होती, वह विकर्ण को √2 से भाग देने पर मिलती है — यहाँ 2/√2 = √2 cm। यही उत्तर तब भी आता है जब त्रिज्या को ही भुजा मान लिया जाए, क्योंकि त्रिज्या 1 cm है। दोनों भूलें एक ही जड़ से आती हैं: यह भूल जाना कि वृत्त और अंकित वर्ग को जोड़ने वाली लंबाई विकर्ण है, भुजा नहीं। जाँच के लिए यह देखिए कि 1 cm² का वर्ग बहुत छोटा पड़ जाता है — उसका विकर्ण केवल √2, यानी लगभग 1·41 cm होगा, जबकि वृत्त का व्यास 2 cm है, इसलिए ऐसा वर्ग वृत्त को छू ही नहीं पाएगा।
• (c)2π cm² — 2π cm² असंभव है, और यह बिना कोई गणना किए दिखाया जा सकता है। वृत्त का अपना क्षेत्रफल πr² = π cm² है, यानी लगभग 3·14 cm²। अंकित वर्ग पूरी तरह वृत्त के भीतर बैठता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल वृत्त के क्षेत्रफल से कम ही होना चाहिए; 2π लगभग 6·28 cm² है, जो वृत्त से दुगुना है। यह विकल्प इसलिए आकर्षक लगता है कि उसमें प्रश्न की दी हुई संख्या '2π' ज्यों की त्यों लौट आती है — परिधि 2π cm थी, और मन उसी अभिव्यक्ति को उत्तर में देखकर आश्वस्त हो जाता है। पर परिधि लंबाई है और क्षेत्रफल क्षेत्रफल; एक की संख्या दूसरे में सीधे नहीं जाती। ऐसे प्रश्नों में यह मोटी जाँच सदा कीजिए कि भीतर बैठी आकृति का क्षेत्रफल बाहर वाली से कम है या नहीं।

वृत्त और वर्ग की जोड़ी में सब कुछ इस एक प्रश्न पर निर्भर करता है कि दोनों आकृतियाँ कहाँ मिल रही हैं। यदि वर्ग वृत्त के भीतर अंकित है, तो उसके चारों शीर्ष वृत्त पर पड़ते हैं और वर्ग का विकर्ण वृत्त का व्यास बन जाता है; तब त्रिज्या r के लिए विकर्ण 2r, भुजा 2r/√2 = r√2 और क्षेत्रफल 2r² होता है। यदि वर्ग वृत्त के बाहर बना है, तो वृत्त उसकी चारों भुजाओं को छूता है और वर्ग की भुजा वृत्त का व्यास बन जाती है; तब भुजा 2r और क्षेत्रफल 4r² होता है। इन दोनों के बीच वृत्त का अपना क्षेत्रफल πr² पड़ता है, क्योंकि π का मान 2 और 4 के बीच है — यही क्रम, 2r² से πr² और फिर 4r², याद रख लेने पर ऐसे सब प्रश्न बिना सूत्र दोहराए हल हो जाते हैं। इसके साथ वर्ग का एक सूत्र और याद रखिए, क्योंकि वह गणना छोटी कर देता है: विकर्ण d वाले वर्ग का क्षेत्रफल d²/2 होता है, इसलिए भुजा निकालने का चरण छोड़ा जा सकता है। यही सूत्र समचतुर्भुज के क्षेत्रफल d₁d₂/2 का विशेष रूप है, जिसमें दोनों विकर्ण बराबर होते हैं।

मुख्य तथ्य

• वृत्त के भीतर अंकित वर्ग का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है, क्योंकि उसके चारों शीर्ष वृत्त पर पड़ते हैं।
• परिधि 2πr = 2π cm से त्रिज्या 1 cm और व्यास 2 cm निकलता है।
• विकर्ण d वाले वर्ग का क्षेत्रफल d²/2 होता है, इसलिए यहाँ क्षेत्रफल 4/2 = 2 cm² बनता है।
• भुजा से भी वही उत्तर आता है — भुजा 2/√2 = √2 cm और क्षेत्रफल (√2)² = 2 cm²।
• त्रिज्या r वाले वृत्त में अंकित वर्ग का क्षेत्रफल 2r² और उसके बाहर बने वर्ग का क्षेत्रफल 4r² होता है।
• वृत्त का अपना क्षेत्रफल πr² इन दोनों के बीच पड़ता है, क्योंकि π का मान 2 और 4 के बीच है।
• अंकित वर्ग और वृत्त के क्षेत्रफलों का अनुपात 2 : π, यानी लगभग 0·64 होता है, आधा नहीं।
• परिधि से त्रिज्या निकालते ही π कट जाता है, इसलिए वर्ग के क्षेत्रफल में π नहीं आ सकता।

सामान्य भ्रम

• वृत्त के व्यास को अंकित वर्ग की भुजा मान लेना, जबकि वह विकर्ण है।
• विकर्ण को दो से भाग देकर भुजा निकालना, जबकि उसे √2 से भाग देना चाहिए।
• उत्तर में π बचा रहने देना, जबकि त्रिज्या निकालते ही वह कट जाता है।
• अंकित वर्ग को वृत्त का ठीक आधा मान लेना, जबकि अनुपात 2 : π होता है।
• परिधि की संख्या को सीधे क्षेत्रफल में उतार देना, जबकि दोनों अलग-अलग विमाओं की राशियाँ हैं।

• practice — not a real PYQ

  किसी वृत्त का क्षेत्रफल 16π cm² है। इस वृत्त के भीतर अंकित वर्ग का क्षेत्रफल क्या होगा?

  • (a)16 cm²
  • (b)32 cm²
  • (c)8 cm²
  • (d)64 cm²

  उत्तर(b) 32 cm² — क्षेत्रफल 16π से त्रिज्या 4 cm निकलती है, और अंकित वर्ग का क्षेत्रफल 2r² = 2 × 16 = 32 cm² होता है।

• practice — not a real PYQ

  किसी वृत्त में अंकित वर्ग और उसी वृत्त के बाहर बने वर्ग के क्षेत्रफलों का अनुपात निम्नलिखित में से कौन-सा है?

  • (a)1 : 2
  • (b)1 : 4
  • (c)√2 : 2
  • (d)2 : 3

  उत्तर(a) 1 : 2 — अंकित वर्ग का क्षेत्रफल 2r² और बाहर बने वर्ग का 4r² होता है, इसलिए अनुपात 2 : 4 = 1 : 2 बनता है।