दो वाहन, जिनके बीच की दूरी 100 km है, एक-दूसरे की ओर एक सीधी रेखा में दौड़ रहे हैं। उन्हें एक-दूसरे तक पहुँचने में कितना समय लगेगा, यदि वे क्रमशः 45 km प्रति घंटा और 80 km प्रति घंटा की एकसमान चाल से चल रहे हैं?
- (a)60 मिनट
- (b)55 मिनट
- (c)48 मिनट
- (d)45 मिनट
उत्तर
क्यों
सही उत्तर — C, (c) 48 मिनट। इस प्रश्न का सारा भार एक ही चरण पर है — सापेक्ष चाल। जब दो वस्तुएँ एक-दूसरे की ओर चलती हैं, तो उनके बीच की दूरी दोनों की चालों के योग की दर से घटती है; जब वे एक ही दिशा में चलती हैं, तो अंतर की दर से। यहाँ वाहन आमने-सामने आ रहे हैं, इसलिए योग लेना है।
सापेक्ष चाल = 45 + 80 = 125 km प्रति घंटा।
अब समय = दूरी ÷ सापेक्ष चाल = 100 ÷ 125 = 0·8 घंटा।
अंतिम चरण इकाई का है, और यहीं दूसरी भूल होती है। विकल्प मिनटों में हैं, इसलिए 0·8 घंटा को मिनट में बदलिए: 0·8 × 60 = 48 मिनट। यही विकल्प (c) है।
समझने की दृष्टि से यह देखिए कि उत्तर किसी एक वाहन की चाल पर निर्भर नहीं करता। यदि एक वाहन 100 km प्रति घंटा और दूसरा 25 km प्रति घंटा चलता, तब भी योग 125 ही रहता और मिलने का समय वही 48 मिनट होता — केवल मिलने का स्थान बदल जाता। यही कारण है कि प्रश्न में 'क्रमशः' शब्द रहते हुए भी यह जानने की आवश्यकता नहीं कि कौन-सा वाहन किस चाल से चल रहा है।
अन्य विकल्प क्यों गलत हैं
- (a)60 मिनट — 60 मिनट, यानी ठीक एक घंटा, तभी उत्तर होता जब सापेक्ष चाल ठीक 100 km प्रति घंटा होती, क्योंकि दूरी 100 km है। पर यहाँ चालों का योग 125 है, 100 नहीं। यह विकल्प उस परीक्षार्थी के लिए रखा गया है जो दूरी के अंक 100 को देखकर सीधे एक घंटा मान लेता है, अथवा जो चालों का योग करने के बजाय उनका औसत ले लेता है। ध्यान रहे कि इस प्रकार के प्रश्न में औसत चाल का कोई काम नहीं है।
- (b)55 मिनट — 55 मिनट किसी भी सही या स्वाभाविक ग़लत विधि से नहीं निकलता; इसके लिए सापेक्ष चाल लगभग 109 km प्रति घंटा माननी पड़ेगी, जो न योग है, न अंतर, न औसत। यह विकल्प केवल इसलिए रखा गया है कि सही उत्तर 48 और भ्रामक उत्तर 60 के बीच एक और संख्या खड़ी रहे और अनुमान से चुनने वाला परीक्षार्थी बीच में उलझ जाए।
- (d)45 मिनट — 45 मिनट में वही जाल है जो ऐसे प्रश्नों में सबसे अधिक चलता है — प्रश्न में दी गई कोई संख्या ज्यों की त्यों विकल्प में रख देना। 45 यहाँ एक वाहन की चाल है, समय नहीं। 45 मिनट उत्तर होने के लिए सापेक्ष चाल लगभग 133 km प्रति घंटा चाहिए। जब भी किसी विकल्प का अंक प्रश्न के किसी अंक से हूबहू मिलता दिखे, तब सतर्क हो जाइए और गणना पूरी कीजिए।
अवधारणा
सापेक्ष चाल का नियम दो पंक्तियों में समाता है। विपरीत दिशा अथवा आमने-सामने: सापेक्ष चाल = v₁ + v₂। एक ही दिशा: सापेक्ष चाल = |v₁ − v₂|। इसके बाद वही मूल सूत्र लागू होता है — समय = दूरी ÷ चाल। इस विषय में दूसरी सावधानी इकाइयों की है: चाल km प्रति घंटा में हो तो समय घंटे में आएगा, और उसे मिनट में बदलने के लिए 60 से गुणा करना होगा। km प्रति घंटा को मीटर प्रति सेकंड में बदलने का गुणक 5/18 है, और उलटी दिशा में 18/5।
चाल, समय और दूरी संख्यात्मक अभियोग्यता का सबसे नियमित विषय है और इस प्रश्नपत्र में इस पर एक से अधिक प्रश्न हैं — यह सीधा है, और आगे का एक प्रश्न उसी विचार को कठिन बनाकर पूछता है, जहाँ तेज़ वाहन लक्ष्य तक पहुँचकर लौटता है। इसलिए इस प्रश्न को केवल हल करके छोड़ने के बजाय सापेक्ष चाल की अवधारणा को यहीं ठीक से बैठा लेना उपयोगी है, क्योंकि आगे वही अवधारणा दो चरणों में लगानी पड़ती है।
मुख्य तथ्य
- आमने-सामने चलने पर सापेक्ष चाल दोनों चालों का योग होती है।
- एक ही दिशा में चलने पर सापेक्ष चाल दोनों चालों का अंतर होती है।
- समय = दूरी ÷ सापेक्ष चाल।
- यहाँ सापेक्ष चाल 45 + 80 = 125 km प्रति घंटा है।
- समय = 100 ÷ 125 = 0·8 घंटा, अर्थात 48 मिनट।
- 0·8 घंटा को मिनट में बदलने के लिए 60 से गुणा किया जाता है।
- मिलने का समय दोनों चालों के योग पर निर्भर करता है, किसी एक चाल पर नहीं।
- km प्रति घंटा को मीटर प्रति सेकंड में बदलने का गुणक 5/18 है।
आगे की तैयारी
सामान्य भ्रम
- आमने-सामने वाले प्रश्न में चालों का अंतर ले लेना।
- चालों का औसत निकालकर उसे सापेक्ष चाल मान लेना।
- उत्तर घंटे में निकालकर मिनट में बदलना भूल जाना।
- प्रश्न में दी गई किसी चाल के अंक को ही उत्तर मान लेना।
- 'क्रमशः' शब्द पर अटक जाना, जबकि यहाँ किस वाहन की कौन-सी चाल है, इससे उत्तर नहीं बदलता।
इस अध्याय के प्रश्न प्रायः तीन रूपों में आते हैं — दो वस्तुएँ आमने-सामने चलकर कब मिलेंगी, एक वस्तु दूसरी को कब पकड़ेगी, और मिलने तक कौन कितनी दूरी तय करेगा। तीसरा रूप सबसे उपयोगी है, क्योंकि उसमें पहले मिलने का समय निकालना पड़ता है और फिर उसे किसी एक चाल से गुणा करना पड़ता है। कभी-कभी उत्तर मिनट में माँगा जाता है और गणना घंटे में होती है, जैसा यहाँ हुआ — इसलिए हल पूरा करने के बाद अंतिम बार इकाई अवश्य मिलाइए। इसी प्रश्नपत्र में इस विषय का दूसरा, अधिक कठिन प्रश्न भी है।
संबंधित PYQ
EPFO_EOAO_2017_Q113खोलें व हल करें →Two vehicles A and B travel with uniform speed 30 km per hour and 60 km per hour respectively in the same direction. They start at the same time and from the same place for a distance of 120 km. The faster vehicle B reaches the destination and travels back with the same speed. Assume that the loss of time to change the direction is negligible. If x is the distance travelled by the slower vehicle A before the two vehicles cross each other, then x is
- (a) 70 km
- (b) 75 km
- (c) 80 km
- (d) 90 km
उत्तर(c) 80 km
इसी प्रश्नपत्र का प्रश्न — दो वाहन एक ही दिशा में चलते हैं, तेज़ वाहन लक्ष्य से लौटता है और दोनों एक-दूसरे को पार करते हैं; सापेक्ष चाल का दो चरणों वाला रूप।
EPFO_EOAO_2023_Q101A train of length 400 m takes 15 seconds to cross a train of length 300 m travelling at 60 km per hour from the opposite direction along a parallel track. What is the speed of the longer train, in km per hour ?
- (a) 108
- (b) 102
- (c) 98
- (d) 96
उत्तर(a) 108
EPFO EO/AO 2023 — एक रेलगाड़ी दूसरी रेलगाड़ी को पार करने में लगने वाला समय; सापेक्ष चाल का रेलगाड़ी वाला रूप।
अभ्यास
- practice — not a real PYQ
दो वाहन 20 km की दूरी पर हैं और एक-दूसरे की ओर क्रमशः 30 km प्रति घंटा तथा 50 km प्रति घंटा की चाल से चल रहे हैं। वे कितने मिनट में मिलेंगे?
- (a)12 मिनट
- (b)15 मिनट
- (c)20 मिनट
- (d)24 मिनट
उत्तर(b) 15 मिनट
- practice — not a real PYQ
दो वाहन एक ही समय पर एक ही स्थान से एक ही दिशा में क्रमशः 40 km प्रति घंटा और 60 km प्रति घंटा की चाल से चलते हैं। 2 घंटे बाद उनके बीच की दूरी कितनी होगी?
- (a)20 km
- (b)40 km
- (c)100 km
- (d)200 km
उत्तर(b) 40 km