शतरंज की एक खेल-प्रतियोगिता में, छह खिलाड़ियों में से प्रत्येक खिलाड़ी हर दूसरे खिलाड़ी के साथ यथार्थतः एक बार खेलेगा । खेल-प्रतियोगिता के दौरान खेले जाने वाले मैचों की संख्या क्या होगी ?

सही उत्तर — B, (b) 15 — जो एक कदम इस प्रश्न को खोलता है वह यह पहचानना है कि यहाँ गिनना क्या है: मैच खिलाड़ियों का नहीं, खिलाड़ियों के जोड़ों का होता है, और जोड़े में क्रम का कोई अर्थ नहीं — 'A बनाम B' और 'B बनाम A' एक ही मैच है। इसलिए उत्तर छह में से दो चुनने के तरीक़ों की संख्या है, यानी 6C2 = (6 × 5)/2 = 15। दूसरा रास्ता भी वही देता है: हर खिलाड़ी शेष पाँच से खेलता है, तो 6 × 5 = 30 — पर इस गिनती में हर मैच दो बार आ गया (एक बार हर खिलाड़ी की ओर से), इसलिए दो से भाग देकर 15। यही प्रसिद्ध 'हाथ मिलाने' वाली गिनती है, और इसका सामान्य सूत्र n(n − 1)/2 है। इस गिनती को याद रखने का सबसे टिकाऊ तरीक़ा यह है कि उसे एक चित्र से जोड़ लिया जाए: छह बिंदु काग़ज़ पर रखिए और हर जोड़ी को एक रेखाखंड से मिलाइए — जितने रेखाखंड बनेंगे उतने ही मैच होंगे, और छह बिंदुओं से बनने वाले रेखाखंड 15 ही होते हैं। यही कारण है कि यह प्रश्न बहुभुज के विकर्णों वाले प्रश्न से भी जुड़ा है: छह बिंदुओं की 15 रेखाओं में से 6 षट्भुज की भुजाएँ बनती हैं और शेष 9 उसके विकर्ण। परीक्षा में यही गिनती कभी मैच, कभी हाथ मिलाने, कभी उपहार बाँटने और कभी रेखाखंडों के रूप में आती है, पर सूत्र हर बार n(n − 1)/2 ही रहता है।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (a)10 — 10 पाँच खिलाड़ियों का उत्तर है — 5C2 = (5 × 4)/2 = 10। यह संख्या तब आती है जब गिनती में एक खिलाड़ी छूट जाए, या यह मान लिया जाए कि छठे को कोई मैच नहीं मिलता। प्रश्न स्पष्ट कहता है कि छहों में से प्रत्येक हर दूसरे के साथ खेलेगा, इसलिए कोई छूटता नहीं।
• (c)20 — 20 वस्तुतः 6C3 है, यानी छह में से तीन चुनने के तरीक़े। मैच दो खिलाड़ियों के बीच होता है, तीन के बीच नहीं, इसलिए यह गिनती प्रश्न से ही मेल नहीं खाती।
• (d)25 — 25 = 5 × 5 है, अर्थात् 'हर खिलाड़ी पाँच मैच खेलेगा' को पाँच से ही गुणा कर देने का परिणाम। सही गुणा 6 × 5 है और उसके बाद दुहराव हटाने के लिए दो से भाग देना अनिवार्य है; इनमें से एक भी चरण छूटे तो उत्तर बदल जाता है।

यह संयोजन (combination) का सबसे मूल रूप है। जब चुने गए सदस्यों का क्रम मायने न रखे, तब n में से r चुनने के तरीक़े nCr होते हैं; जब क्रम मायने रखे, तब क्रमचय (permutation) लगता है। मैच, हाथ मिलाना, दो बिंदुओं से बनने वाली रेखा, बहुभुज के विकर्ण और समिति का चयन — ये सब एक ही साँचे के अलग-अलग रूप हैं, क्योंकि इन सबमें 'A के साथ B' और 'B के साथ A' एक ही वस्तु है। यही कारण है कि सीधा गुणनफल n(n − 1) दुगुना पड़ता है और उसे दो से भाग देना पड़ता है। इसके उलट, यदि प्रश्न प्रथम और द्वितीय स्थान जैसा कुछ पूछे, तो क्रम मायने रखने लगता है और वहाँ भाग नहीं दिया जाता। प्रश्न पढ़ते ही यह तय कर लेना कि क्रम मायने रखता है या नहीं — इसी एक निर्णय पर ऐसे सारे प्रश्न टिके होते हैं।

मुख्य तथ्य

• एकल चक्रीय (round robin) प्रतियोगिता में n खिलाड़ियों के कुल मैच n(n − 1)/2 होते हैं, क्योंकि हर मैच एक जोड़ी है और जोड़ी में क्रम मायने नहीं रखता।
• यदि हर जोड़ी दो बार खेले, अपने मैदान पर और बाहर, तो कुल मैच दुगुने होकर n(n − 1) हो जाते हैं।
• 6C2 = 15, 5C2 = 10 और 6C3 = 20 — इन तीनों मानों का इस प्रश्न के विकल्पों से सीधा सम्बन्ध है, इसलिए तीनों याद रखने योग्य हैं।
• n बिंदुओं से बनने वाले रेखाखंड भी nC2 ही होते हैं; उनमें से n भुजाएँ होती हैं और शेष n(n − 3)/2 विकर्ण।
• नॉक-आउट प्रतियोगिता का सूत्र अलग है — वहाँ एक विजेता निकालने के लिए n − 1 मैच लगते हैं।

सामान्य भ्रम

• 6 × 5 = 30 पर रुक जाना और दुहराव हटाने के लिए दो से भाग देना भूल जाना — यही सबसे आम चूक है।
• नॉक-आउट प्रतियोगिता का सूत्र, यानी n − 1 मैच, इस एकल चक्रीय प्रतियोगिता पर लगा देना।
• क्रम मायने रखने और न रखने का निर्णय किए बिना सीधे सूत्र लगा देना, जिससे संयोजन की जगह क्रमचय आ जाता है।

• practice — not a real PYQ

  किसी गोष्ठी में उपस्थित प्रत्येक व्यक्ति हर दूसरे व्यक्ति से ठीक एक बार हाथ मिलाता है । यदि कुल 45 बार हाथ मिलाए गए, तो उपस्थित व्यक्तियों की संख्या क्या है ?

  • (a)9
  • (b)10
  • (c)11
  • (d)12

  उत्तर(b) 10 — n(n − 1)/2 = 45 से n(n − 1) = 90, अर्थात् n = 10।