एक आयताकार उद्यान की लम्बाई इसकी चौड़ाई से दुगुनी होनी है । यदि 360 m की बाड़, दरवाजों सहित, इस उद्यान की पूरी घेराबन्दी कर ले, तो उद्यान की लम्बाई क्या है ?

सही उत्तर — A, (a) 120 m — यहाँ दो शर्तें दी गई हैं और दोनों को एक साथ लगाना ही पूरा हल है।

पहली शर्त : लम्बाई चौड़ाई से दुगुनी है। चौड़ाई को w मानिए, तो लम्बाई 2w हुई।

दूसरी शर्त : 360 m की बाड़ उद्यान की पूरी घेराबन्दी करती है, यानी परिमाप 360 m है। आयत का परिमाप = 2 × (लम्बाई + चौड़ाई) :

2 × (2w + w) = 360 2 × 3w = 360 6w = 360 w = 60

अतः चौड़ाई 60 m और लम्बाई 2 × 60 = 120 m, यानी विकल्प (a)।

‘दरवाजों सहित’ वाला वाक्यांश गणना में कोई परिवर्तन नहीं करता; वह केवल यह बताता है कि 360 m की बाड़ में दरवाज़ों की जगह भी शामिल है, इसलिए परिमाप में से कुछ घटाने की आवश्यकता नहीं। ऐसे वाक्यांश प्रायः यह देखने के लिए रखे जाते हैं कि उत्तर देने वाला अनावश्यक जटिलता तो नहीं गढ़ रहा।

इस प्रश्न की सबसे उपयोगी विशेषता यह है कि इसे उलटकर भी जाँचा जा सकता है, और वह जाँच कुछ ही सेकंड लेती है। किसी भी विकल्प को लम्बाई मानिए, उसका आधा चौड़ाई लीजिए, और परिमाप निकालिए :

120 m हो तो चौड़ाई 60 m, परिमाप = 2 × 180 = 360 m — यही चाहिए। 130 m हो तो चौड़ाई 65 m, परिमाप 390 m। 140 m हो तो चौड़ाई 70 m, परिमाप 420 m। 150 m हो तो चौड़ाई 75 m, परिमाप 450 m।

केवल पहला विकल्प दी गई बाड़ में समा पाता है। जिन प्रश्नों में विकल्प सीधे किसी माप के हों, वहाँ यह प्रतिस्थापन-विधि समीकरण बनाने से भी तेज़ पड़ती है।

अन्य विकल्प क्यों गलत हैं

• (b)130 m — 130 m लम्बाई मानने पर चौड़ाई 65 m होगी और परिमाप 2 × (130 + 65) = 390 m बैठेगा — यानी दी गई बाड़ से 30 m अधिक। यह विकल्प उस पाठक के लिए है जो शर्तें ठीक पढ़ता है पर समीकरण हल करते समय 6w = 360 के बजाय किसी और गुणांक पर पहुँच जाता है। ध्यान दीजिए कि लम्बाई और चौड़ाई का सम्बन्ध 2 : 1 होने से परिमाप में कुल छह बराबर भाग बनते हैं, इसलिए 360 को 6 से भाग देना ही पहला और निर्णायक क़दम है।
• (c)140 m — 140 m लेने पर चौड़ाई 70 m और परिमाप 420 m हो जाता है, जो उपलब्ध बाड़ से 60 m अधिक है। यहाँ एक और बात ध्यान देने योग्य है : चारों विकल्प 10 m के अंतर पर रखे गए हैं, इसलिए अनुमान से चुनने की गुंजाइश नहीं है और गणना करनी ही पड़ती है। परिमाप का सूत्र लगाते समय यह भी याद रखिए कि लम्बाई और चौड़ाई दोनों दो-दो बार गिनी जाती हैं — केवल एक बार जोड़ना इस प्रकार के प्रश्नों की सबसे आम भूल है।
• (d)150 m — 150 m लेने पर चौड़ाई 75 m और परिमाप 450 m बनता है — दी गई बाड़ से पूरे 90 m अधिक। यह चारों में सबसे बड़ा मान है और उस पाठक को खींचता है जो 360 को किसी छोटे गुणांक से भाग दे बैठता है। जाँच का सरल तरीक़ा यही है कि उत्तर मानकर परिमाप निकाल लिया जाए; यदि वह 360 m से अधिक निकले तो उतनी बाड़ में उद्यान घेरा ही नहीं जा सकता, और विकल्प तुरन्त गिर जाता है।

क्षेत्रमिति के ऐसे प्रश्न वस्तुतः बीजगणित के प्रश्न होते हैं, जिनमें ज्यामिति केवल सूत्र देती है। हल का ढाँचा तीन चरणों का है : सम्बन्ध को चर में लिखिए, माप की शर्त से समीकरण बनाइए, और हल निकालकर पूछी गई राशि चुनिए।

आयत के दो मूल सूत्र यहाँ काम आते हैं : परिमाप = 2 × (लम्बाई + चौड़ाई), और क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई। बाड़, तार, किनारे की पट्टी या दौड़-पथ जैसे शब्द परिमाप की ओर संकेत करते हैं; घास लगाना, फ़र्श बिछाना या रंग करना क्षेत्रफल की ओर। यह भेद पकड़ लेना आधा काम कर देता है।

अनुपात का उपयोग इस प्रकार के प्रश्नों को और सरल बना देता है। यदि लम्बाई और चौड़ाई का अनुपात 2 : 1 हो, तो परिमाप में कुल 2 + 1 + 2 + 1 = 6 बराबर भाग होते हैं। इसलिए परिमाप को 6 से भाग देकर एक भाग निकालिए और फिर लम्बाई के लिए उसे दुगुना कीजिए — समीकरण लिखने की आवश्यकता ही नहीं पड़ती।

तीसरा उपकरण प्रतिस्थापन है : विकल्प यदि स्वयं माप हों, तो उन्हें एक-एक करके शर्तों में रखकर देखा जा सकता है। यह विधि तब सबसे उपयोगी होती है जब समीकरण बनाने में समय लगने की आशंका हो।

मुख्य तथ्य

• आयत का परिमाप = 2 × (लम्बाई + चौड़ाई), और क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई।
• लम्बाई चौड़ाई से दुगुनी होने पर परिमाप में कुल छह बराबर भाग बनते हैं, इसलिए 360 ÷ 6 = 60 m चौड़ाई और 120 m लम्बाई।
• ‘दरवाजों सहित’ वाक्यांश गणना नहीं बदलता; पूरी 360 m बाड़ परिमाप के बराबर मानी जाती है।
• विकल्पों को शर्त में रखकर जाँचने पर परिमाप क्रमशः 360, 390, 420 और 450 m निकलता है — केवल पहला मेल खाता है।
• बाड़, तार या किनारे की पट्टी परिमाप की ओर संकेत करते हैं, जबकि फ़र्श, घास या रंग क्षेत्रफल की ओर।

सामान्य भ्रम

• परिमाप निकालते समय लम्बाई और चौड़ाई को केवल एक-एक बार जोड़ लेना।
• ‘दरवाजों सहित’ जैसे कहानी-विवरण से अनावश्यक घटाव कर बैठना, जबकि वह गणना नहीं बदलता।
• अनुपात लगाते समय लम्बाई और चौड़ाई की भूमिकाएँ उलट देना, जिससे उत्तर दुगुना या आधा हो जाता है।

• practice — not a real PYQ

  किसी आयताकार खेत की लम्बाई उसकी चौड़ाई से तिगुनी है और उसका परिमाप 320 m है । खेत की चौड़ाई क्या है ?

  • (a)30 m
  • (b)40 m
  • (c)60 m
  • (d)80 m

  उत्तर(b) 40 m

• practice — not a real PYQ

  इसी उद्यान का क्षेत्रफल कितना होगा ?

  • (a)3600 वर्ग मीटर
  • (b)5400 वर्ग मीटर
  • (c)7200 वर्ग मीटर
  • (d)14400 वर्ग मीटर

  उत्तर(c) 7200 वर्ग मीटर